Leetcode 204. Count Primes

Description:

Count the number of prime numbers less than a non-negative number, n.

s思路：
1. 先看看这道题的边界是什么。肯定需要检查每个数i是否质数，而检测是否质数则需要检测小于i的数和i能否整除。这样，复杂度就是o(n*n).
2. 这么做如何？只能说这个边界太粗了，没有压缩得很仔细，还有空间可以压缩，或者说有很多重复的计算量。比如：我们检测到7是prime number,那么49呢？为了检测49是否是Prime,需要从2-48来除，看是否整除，当除到7的时候发现能整除，因此不是prime。可以明眼人，一眼就看出49不是prime,为啥要费这么大气力来一个一个尝试，因为我们知道7是因子。这就需要打破思维里的枷锁了，不用除法，因为49=7*7，所以当我们发现7是prime,那么7的所有倍数都不是prime，因此49也不是prime，完全没必要从2开始尝试。或者说，这里面思维的变化是，从做除法变成做乘法，这也是应该推广的思维方式：一个方法繁琐，通常这个方法的逆方法就很容易。比如：当我们从左侧遍历vector，发现很多case需要处理，理解起来也不方便，那么不妨让思维来个反转，从右边遍历。这个思维模式在我们习惯二分的世界里，通常可以转复杂为简洁，立竿见影！

如上图：看问题都有两个相反的角度，而通常容易看到的角度如果有很多重复运算，不简洁，很多corner case，很多不smooth的地方，很多暗沟，很多分离的地方，这是因为我们碰巧就是从一个正常的角度看见了这个问题。这个时候，就需要能转念，转念才能看到强大的normal view背后的opposite view，在那儿就没有这么繁复的，重复的操作。因此，表面看是从除法变成乘法，从被动的尝试变成主动的标记，实际上，是思维从normal view转到相反的角度看到了opposite view。因此，越是发现思维里的方法很繁复、很细琐，那就越说明这个强大的想法背后肯定藏着有一个简单的美妙的方法，这需要上升到一个信念才可以开发到背后的opposite view!
3. 回到具体的方法上去。normal view看到的是：检查每个数是否是prime，每个数的检查就是从2开始枚举看是否都不能整除，问题：每次检查都是同头检查，没有利用数与数间的关系，把连续的数看成分离的数。而opposite view看到的是：一旦发现一个prime,那么就主动去给这个prime的所有倍数标记为非prime，以后就不用再判断是否prime，这就充分利用“连续”这个特点，同时把查询变成了广播。这里特别强调：普通的查询是指所有的可能都尝试，无论别人是否尝试过，因为普通的查询来说，每次运算相互独立，并不相互通信，导致重复运算很多；广播则很好的避免了这一点：一旦掌握了某个信息，就把这个信息广播出去让相关的节点都能知道这个信息，对后面要进行的运算做标记，这个广播的作用，就是连接运算和运算之间的桥梁，防止重复计算。因此，在opposite view的角度里，存在broadcast的方法，避免了重复计算，因此复杂度从查询的o(n^2)降低到o(n)。如下图。回想一下，这个broadcast就是dp的思想。

class Solution {public:    int countPrimes(int n) {        //        if(n<2) return 0;        //vector<bool> dp(n+1,0);        bool dp[n+1]={0};        int count=0,i=2;        for(;i*i<=n;i++){//这里广播最多做到i*i<n即可！            if(dp[i]==0){                int j=i;                while(i*j<=n){//这个循环就是broadcast,把当前信息传递给后面所有相关的数。                    dp[i*j]=1;                    j++;                    }                    count++;            }            }        for(;i<n;i++){            if(dp[i]==0) count++;        }        return count;    }};