算术基本定理------比1大的整数N的素因子分解是唯一的

算术基本定理：每一个比1大的整数N只能有一种方式分解成素数的乘积。（不考虑因子的次序）

这个命题初看起来似乎是很明显的，但它决不是不证自明的。本篇博文给出两种证明方法。

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证明一：反证法

思路： 假设存在一个整数，它有两种根本不同的素数分解，然后从这个假设出发导出一个矛盾，于是说明原假设不成立，命题得证。

证明： 如果存在整数（大于1），有两种根本不同的素数分解，则这样的正整数中必有一个是最小的，设这个最小的正整数为m。

m=p1p2...pr=q1q2...qs公式(1)

这里的p、q均是素数，并安排p、q的次序，使得p1≤p2≤...≤pr,q1≤q2≤...≤qs.
在上述的分解中，p1不等于q1。如果两者相等，我们能从等式（1）的每一边消去第一个因子（即p1和q1），这与m是最小的可分解为两种素因子分解的正整数矛盾。因此p1不等于q1，不妨假设p1<q1。构造一个整数

m′=m−(p1q2...qs)公式（2）

将公式（2）中的m用等式（1）中的两个表达式带入，可以把m′改写成如下两种形式

m′=m−(p1q2...qs)=p1p2...pr−p1q2...qs=p1(p2p3...pr−q2q3...qs)(公式3)

和

m′=m−(p1q2...qs)=q1q2...qs−p1q2...qs=(q1−p1)(q2q3...qs)>0(公式4)

由上面的公式（1）和公式（4）可知m′小于m。因此m′的素数分解，排除因子的次序外，必须是唯一的。但从公式（3）知素数p1是m′的因子，所以由公式（4）可知p1必须是(q1−p1)或(q2q3...qs)的因子。由于所有的q都大于p1,因此p1必须是(q1−p1)的因子。所以存在某个整数h使得q1−p1=p1∗h或q1=p1∗(h+1),这表明p1是q1的一个因子，这与q1是素数的事实矛盾。从而证明原命题成立。

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证明二：

  在证明之前，要引入一个结论“ 如果一个素数p整除乘积ab，则p必整除a或b。 ”关于这个结论的证明，请参见另一篇博文：欧几里得辗转相除法证明及推论 。
  假设正整数N的素因子分解不唯一（至少有两种分解方式）。
不妨设定N=p1p2...pr=q1q2...qs（其中p和q均是素数）。
由于素数p1整除这个等式的左边p1p2...pr，它也必须整除等式的右边q1q2...qs。
所以p1必须整除q1,q2,...,qs这些因子中的一个qk。但qk是素数，因此p1=qk。把这两个相等的因子从这个等式中消去。
所以p2必须整除右边剩下的因子之一qt，而qt是素数，所以p2=qt。然后等式两边划掉相等的因子p2和qt。同理推导下去，当p都消去后，等式左边仅剩下1。由于所有q都是大于1的，所以右边不能剩下q。因此p和q是以相等的因子对从等式中消去的。这就证明了两种素因子分解是相同的。