统计学7

随机变量之差的方差
假设有两个随机变量X和Y，两者完全独立。
E(X)=μX，
E(Y)=μY，
Var(X)=E((X−μX)2)=σ2X，
Var(Y)=E((Y−μY)2)=σ2Y。

假设有Z=X+Y
E(Z)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)，
Var(Z)=Var(X)+Var(Y)。

假设有A=X-Y
E(A)=E(X-Y)=E(X)-E(Y)，
Var(A)=Var(X)+Var(-Y)=Var(X)+Var(Y)=Var(Z)。
证明Var(−Y)=Var(Y)
Var(−Y)=E((−Y−E(−Y))2)=E((Y+E(−Y))2)
而E(-Y)=-E(Y)
Var(−Y)=E((Y+E(−Y))2)=E((Y−E(Y))2)=Var(Y)

随机变量之差的均值等于均值之差，随机变量之差的方差等于方差之和。

样本均值之差的分布
有随机变量X服从任意分布，总体均值μX，方差σ2X。
有随机变量Y服从任意分布，总体均值μY，方差σ2Y。
样本容量很大时，随机变量X和Y的样本均值的抽样分布服从正态分布。
随机变量X的样本均值X¯抽样分布的均值μX¯=μX，方差σ2X¯=σ2Xn。
随机变量Y的样本均值Y¯抽样分布的均值μY¯=μY，方差σ2Y¯=σ2Ym。

定义一个新的随机变量Z=X¯−Y¯，Z表示从总体X中取n个样本求均值，从总体Y中取m个样本求均值，两个均值之差。Z服从正态分布。
μZ=μX¯−Y¯=μX¯−μY¯（抽样分布的均值）=μX−μY（总体均值）
σ2Z=σ2X¯−Y¯=σ2X¯+σ2Y¯（抽样分布的方差）=σ2Xn+σ2Ym（总体方差）

样本均值之差的置信区间
我们想检验一种新低脂节食产品是否帮助人们减肥，100个随机抽取的人采用此产品，另外100个人采用普通节食产品作对照，4个月后第一组体重减轻均值9.31磅，样本标准差4.67磅，第二组样本均值是7.4磅，样本标准差4.04磅。计算95%置信区间。

考虑均值之差的分布。
均值μX1¯−X2¯=μX1¯−μX2¯=9.31-7.4=1.91。
方差
σ2X1¯−X2¯=σ2X1¯+σ2X2¯=σ2X1100+σ2X2100≈S2X1100+S2X2100=4.672100+4.042100
标准差σX1¯−X2¯=0.617

查z表格得，z=1.96
所以95%置信区间是1.91±1.96×0.617=1.91±2.1

我们95%确信采用低脂节食产品比采用普通节食产品多减轻0.7 到3.12 磅，真实差异值μX1−μX2在0.7 到3.12 区间内。

样本均值之差的假设检验
定义零假设：低脂节食产品无效，μX1−μX2=0，也就是μX1¯−μX2¯=μX1¯−X2¯=0
备择假设：低脂节食产品，μX1−μX2>0，也就是μX1¯−μX2¯=μX1¯−X2¯>0

任何假设检验，都有一定的显著性水平，在这里α=5%。
假设零假设正确，μX1¯−X2¯=0。这里是单侧检验，查z表格，右侧尾部显著性水平5%在距离均值1.65个标准差处，1.65*0.617=1.02。

如果低脂节食产品无效，两样本均值之差超过1.02的概率只有5%。而得到的样本差值是1.91，所以拒绝零假设。

总体占比比较的置信区间
总统选举，我想知道男性和女性中投给某候选人的占比是否有显著不同。

也就是p1和p2是否有显著差别，求出参数p1−p2 95%的置信区间。

调查了1000个投票的男性和1000个投票的女性。男性中，642人投给此候选人，记为1，358人用0表示。女性中，591人投给此候选人，记为1，409人用0表示。
计算男性样本均值p1¯=0.642，女性样本均值p2¯=0.591。

因为样本容量很大，样本占比的抽样分布图服从正态分布。

不仅考虑男女性单独的抽样分布，要考虑两样本占比之差的抽样分布。这里说的占比其实是一般的均值。
均值μp1¯−p2¯=μp1¯−μp2¯=0.642-0.591=0.051。
方差
σ2p1¯−p2¯=σ2p1¯+σ2p2¯=p1(1−p1)1000+p2(1−p2)1000≈0.642(1−0.642)1000+0.591(1−0.591)1000
标准差σX1¯−X2¯=0.022

95%的置信区间d，表示有95%几率，0.051在p1−p2周围d之内，也等同于p1−p2在0.051周围d之内。查表格，得到z=1.96。
d=0.051±1.96×σX1¯−X2¯=0.051±1.96∗0.022=0.051±0.043。
因此投给某一特定候选人的男女总体占比之差的95%置信区间，也就是p1−p2的95%置信区间是0.008到0.094。有95%几率确信男性比女性占比大。

总体占比比较的假设检验
定义零假设：男性和女性中投给某候选人的占比没有显著不同，p1−p2=0
备择假设：有显著不同，p1−p2≠0
显著性水平α=5%

假设零假设成立，p1=p2=p，求得实际样本占比差值0.051的概率。
0.051距离抽样分布均值0的z分数，z=0.051−0σp1¯−p2¯=0.051−0p1(1−p1)1000+p2(1−p2)1000√=0.051−02p(1−p)1000√
此中p未知，我们可以考虑估计p¯=(0.642+0.591)/2=0.6165。
z=0.051−02∗0.6165(1−0.6165)1000√=0.051/0.0217=2.35

这里是双侧检验，查z表格得到拒绝零假设的最小z分数，左右侧尾部显著性水平5%在距离均值1.96个标准差处。而2.35>1.96，所以零假设成立下，得到实际样本占比差值0.051的概率小于5%，拒绝零假设。