【BZOJ2194】快速傅里叶之二，FFT和一点奇怪的想法

传送门(权限题)
题意：给定数列a,b,求ck=∑i=kn−1aibi−k,n≤105
思路：
（偶然发现一点新东西的奇妙感，如果神牛们早就知道了就无视掉我这篇胡扯的博文吧）
下面的n默认为是2的正整数次幂
传统FFT模板题，网上的传统做法是把a或b翻转过来，化成卷积形式然后直接做就可以了
但是我在做这道题的时候并没有想到这种方法，而是一直在考虑在多项式方面的问题，从一般感觉上来说，−(i−k)+i=k，那怎么化成负的呢？
我们知道一般形式为A(x)=a0+a1x+a2x2+...+an−1xn−1，称其为x的一个次数界为n的多项式；对于多项式乘法，设结果为c，相乘的两个多项式为a,b;ai,bi,ci分别表示a,b,c次数为i的项，那么ci=∑j=0iajbi−j，这是一个卷积形式，这也是FFT是处理卷积问题的利器的原因。回到原来的问题上，我们从多项式的项次数上考虑，那么我们要求的ck不就是”a的次数为i的项乘b的次数为-(i-k)的项”的累和？
抱着试一试与乱搞的心态，我写了一个这样的东西
A(x)=a0+a1x+a2x2+...+an−1xn−1
B(x)=b0+b1x1+b2x2+...+bn−1xn−1
C(x)=A(x)B(x−1)
那么多项式C(x)的0~n-1次项的系数就是答案
处理B(x)的FFT的时候，像逆DFT一样，把单位复数根ωn变成ω−1n就好了
但是C(x)里有负指数项，正确答案在哪里呢？
抱着弃疗的心态输出了c0,c1..cn−1，发现样例过了，对拍过了，然后就A了
静下心来仔细思考，我们在算出A,B的DFT，再做完向量乘法时，实际上的C是这样的
ci=∑0<j<n,0<j+i<najbj+i
C(x)=c−(n−1)x−(n−1)+c−(n−2)x−(n−2)+..+c0+c1x+c2x2+...cn−1xn−1
但在做逆DFT时，因为逆DFT是插值法，求出来的形式一定与多项式的一般形式相符合而不会出现负指数，而插值正好是2n次单位复数根的k(k=0~2n-1)次方，把负号移到它们头上，所求出来的项的次数是在mod 2n意义下的，也就是这些负指数项正好加上2n(我们做FFT时默认A,B,C次数为2n，不过它们实际最高次数并不一定是2n)
上面可能说的很模糊，举例来说，我们在C(x)的原式中所谓的第−j项c−jx−j，因为x=ω02n,ω12n..ω2n−12n，所以这里的c−jx−j=c−jx2n−j,显然2n−j>0
说白了，我们对A(x)B(x−1)的2n次单位复数根处插值时，得到的多项式实际是
C′(x)=c0+c1x+c2x2+...+cn−1xn−1+c−(n−1)xn+1+...+c−2x2n−2+c−1x2n−1
不得不说，这样做的基础就是n次单位复数根在乘法下构成n阶群以及插值法确定多项式的唯一性
（上面这句话是我瞎扯淡的，请无视）
代码：

#include<cstdio>#include<complex>using namespace std;int n;int pos[1<<18],bit[1<<18];const double pi=acos(-1.0);typedef complex<double> Co;Co a[1<<18],b[1<<18];void FFT(Co a[],bool tp,int len){    for (int i=0;i<len;++i)        if (pos[i]>i) swap(a[pos[i]],a[i]);    for (int i=2;i<=len;i=i<<1)    {        Co w(cos(2*pi/i),(tp?-1:1)*sin(2*pi/i)),wn,p,q;        for (int j=0;j<len;j+=i)        {            wn=Co(1,0);            for (int k=0;k<i/2;++k)                p=a[k+j],                q=wn*a[k+j+i/2],                a[k+j]=p+q,                a[k+j+i/2]=p-q,                wn=w*wn;        }    }}main(){    scanf("%d",&n);    for (int x,y,i=0;i<n;++i)        scanf("%d%d",&x,&y),        a[i]=Co(x,0),b[i]=Co(y,0);     int wei=log2(n*2)+1,len=1<<wei;    for (int t=1,i=0;i<wei;++i,t+=t) bit[t]=i;    for (int i=1;i<len;++i) pos[i]=pos[i-(i&-i)]|(1<<wei-bit[i&-i]-1);    FFT(a,0,len);    FFT(b,1,len);    for (int i=0;i<len;++i) a[i]=a[i]*b[i];    FFT(a,1,len);    for (int i=0;i<n;++i) printf("%d\n",(int)(a[i].real()/len+0.5));}