大话数据结构6 - 查找

查找searching

查找：根据给定的某个值，在查找表中确定一个其关键字等于给定值的数据元素/记录

查找表，查找集合：同一类型数据元素/记录的集合

查找结构：专门为查找操作设置的数据结构，表、树、图结构

查找结果：成功（给出整个记录的信息，给出该记录的位置），不成功（给出一个空记录，给出一个空指针）

按操作方式分类：2类

1、静态查找表：只作查找操作1.查询某个“特定”数据元素是否存在，2.检索某个“特定”数据元素及数据项信息

2、动态查找表：1.查找时插入数据元素，2.查找时删除数据元素

注意：动态查找表，既要考虑插入、删除操作的效率，又要考虑查找操作的效率

关键字，键值：是数据元素中某个数据项的值，用它可以标识一个数据元素

关键码：关键字所标识的数据元素的某个数据项

主关键字，主关键码：主关键字，唯一标识一个数据元素；主关键码，主关键字所在的数据项

次关键字，次关键码：次关键字，不唯一标识；次关键码，次关键字所在的数据项

注意：对不同记录，主关键字均不相同

注意：理解“唯一标识”，“不唯一标识”的含义

这里的“唯一”，指的是对同一字段中的值进行的判断，如果是不同字段，相等、不相等，一般都没有什么实际的意义。“唯一标识”在同一字段中没有重复值，“不唯一标识”在同一字段中有重复字段，如果所有字段都重复就是重复记录。

顺序表查找，有序表查找，线性索引查找，二叉排序树，平衡二叉树，多路查找树，散列表、哈希表查找

一：静态

1、顺序表查找，顺序表：线性表

从头到尾、从尾到头查找

优化：在查找方向的尽头放置“哨兵”，判断查找是否越界的小技巧

顺序表存放规则：根据查找频率，将经常要查找的记录放在前面，不常用的记录放在后边

2、有序表查找，有序表：a.线性表，b.关键码有序，c.顺序存储

按照分割点选择方法的不同，介绍3种：折半查找，插值查找，斐波那契查找

查找表a，分割点mid，最低下标low=1、记录首位，最高下标high=n、记录末位

1.折半查找，二分查找，mid=(low+high)/2 = low+(high-low)*1/2

2.插值查找，插值公式=(key-a[low])/(a[high]-a[low])，mid=low+(high-low)*(key-a[low])/(a[high]-a[low])，适用：关键字分布比较均匀的查找表

3.斐波那契查找，黄金分割，mid=low+F[k-1]-1，斐波那契数列：F[K]=F[K-1]+F[K-2]

3、线性索引查找，索引表：a.线性表，b.带指针，c.有序

注意：a.索引是对于按先后顺序存储的海量数据，为了加快查找速度而设计的一种查找结构，b.索引是根据原数据集新生成的一个数据集合

注意：索引技术被广泛的用于文件检索、数据库、搜索引擎等技术领域

索引：把一个关键字与它对应的记录相关联的过程，一个索引由若干个索引项组成

索引项：至少包含关键字、对应记录的位置（指针）等信息

按结构分类：线性索引，树形索引，多级索引

这里只介绍线性索引：3种，稠密、分块、倒排

线性索引，索引表：将索引项集合组织成线性结构

1.稠密索引：是指在线性索引中，数据集中的每个记录对应一个索引项

特点：记录无序，索引表中的索引项（按关键字）有序

索引项包含2个数据项：a.关键字，b.指针

缺点：索引项个数与数据集中的记录个数相同，空间代价大

2.分块索引：把数据集的记录按分块有序的原则分成若干块，每一块对应一个索引项

特点：分块有序：a.块内无序，块内记录可以无序，b.块间有序，块与块之间按关键字有序，例如，第一块中的所有记录都小于第二块中的记录等

索引项包含3个数据项：a.最大关键字，b.快中的记录个数，c.指向块首数据元素的指针

最佳情况：分块数m=块中记录数t

3.倒排索引，最基础的搜索技术，根据属性（字段、次关键码）的值来查找记录，不是由记录确定属性值，而是由属性值确定记录的位置

索引项通用结构，包含2个数据项：a.次关键字，b.记录号表：是指向该记录的指针、是该记录的主关键字

优点：查找记录非常快

缺点：记录表号不定长，维护（插入删除等）比较困难

二：动态：既要考虑插入、删除的效率（链式存储），又要考虑查找的效率（有序）

注意：二叉排序树、平衡二叉排序树是动态查找最重要的数据结构，B树是为内外存的数据交互专门设计准备的数据结构

1、二叉排序树，二叉查找树，BST：空树、左<根<右的二叉树，中序遍历的结果是一个从小到大的有序序列

注意：区别有序树（各结点位置有次序、不能互换），二叉树就是有序树

算法：使用二叉链表，递归原理

查找操作，递归查找

插入操作，构建一个二叉排序树

删除操作，分2种情况：a.仅有左子树/左叶子的结点或仅有右子树/右叶子的结点，c.左右子树/左右叶子都有的结点

注意：对于b情况更好的思路是，使用删除结点p的前驱s1或后继s2来替换该结点，然后再删除s。其中前驱s1一定是左子树中最右的叶子或最右的仅带一个左叶子的子树根，后继s2一定是右子树中最左的叶子或最左的仅带一个右叶子的子树根

注意：1.查找操作要在查找遍历整个二叉树后、确定没有该元素、再插入，程序是：插入程序中调用查找函数，2.删除操作是只要找到该元素就可以执行、不用遍历整个树，程序是：a.可以在删除程序中调用查找函数b.也可以在查找程序中调用删除函数

总结：1.插入删除性能取决于存储结构，链式存储，修改指针，2.查找性能取决于二叉排序树的层数/深度：最好情况，深度与完全二叉树相同（平衡状态）、近似折半查找；最坏情况，斜树（二叉树深度等于结点个数）、等同顺序查找

2、平衡二叉树，AVL树：a.是二叉排序树，b.每个结点的左右子树高度差至多等于1

注意：是一种高度平衡的二叉排序树，高度平衡是指：1.要么是空树，2.要么它的左右子树都是平衡树，且左右子树的深度差的绝对值不超过1

平衡因子BF：二叉树上结点的左子树深度减去右子树深度的值，即BF=左深度-右深度，BF=-1、0、1

注意：只要二叉树上有一个结点的平衡因子的绝对值大于1，该二叉树就不是平衡的

最小不平衡子树：距离插入结点最近的，且平衡因子的绝对值大于1的结点为根的子树

构建AVL树的思想：在构建二叉排序树的过程中，每插入一个结点就检查是否因新插入的结点而破坏了平衡性，若是，找出最小不平衡子树，进行调整

注意：把不平衡消灭在最早时刻

调整思路：

①BF=正（0、1、2），以BF=1为轴，右旋转/顺时针旋转，得到（0、0、0）

②BF=负（0、-1、-2），以BF=-1为轴，左旋转/逆时针旋转，得到（0、0、0）

③BF=一正一负（0、1、-2），先以BF=1为轴右旋转，得到（0、-1、-2），再②，得到（0、0、0）

④BF=一负一正（0、-1、2），先以BF=-1为轴左旋转，得到（0、1、2），再①，得到（0、0、0）

注意：0=0 1=0 -1

算法：使用二叉链表

①增加bf，存储平衡因子

②右旋函数R_Rotate：（0、1、2），左旋函数L_Rotate：（0、-1、-2）

③右平衡函数RightBalance：左（0、-1、-2），右左（0、1、-2），左平衡函数LeftBalance：右（0、1、2），左右（0、-1、2）

④主函数

3、多路查找树：a.每个结点的孩子数可以多于2个，且每个结点处可以存储多个元素，b.所有元素之间存在某种特定的排序关系

注意：多路树，打破了一个结点只存储一个元素的限制

4种特殊形式：2-3树、2-3-4树、B树、B+树

注意：1.其中它们的插入、删除操作比较复杂，2.所有叶子结点都在同一层次上

①2-3树：2结点或3结点

②2-3-4树：2结点或3结点或4结点

2结点：1个元素2个孩子，要么没有孩子要么有2个孩子，不能只有一个孩子，左<右

3结点：2个元素3个孩子，要么没有孩子要么有3个孩子，左<中<右

4结点：3个元素4个孩子，要么没有孩子要么有4个孩子，左<左中<右中<右

③B树：是平衡的多路查找树，2-3、2-3-4是B树的特例

B树的阶：结点最大的孩子数目，例如2-3树是3阶B树、2-3-4树是4阶B树

B树的查找过程：指针查找结点+结点中查找关键字

注意：B树的数据结构是为内外存的数据交互专门设计准备的，适用于外查找的树

注意：内外存的查找性能更多取决于读取次数，所以设计要考虑B树的平衡和层次

④B+树：应文件系统所需而出现的一种B树的变形，解决了所有元素遍历等基本问题

适用：B+树结构特别适合带有范围的查找

注意：前面所讲的树都是没有重复值的，即每一个元素在该树中只出现一次，而B+树不同于之前所讲的树，在B+树结点中的元素会在叶子中再次列出，即元素会重复出现

三：散列表、哈希表查找：静态查找，散列主要是面向查找的存储结构

不用比较，直接通过关键字key得到要查找记录的存储位置

散列技术：在记录的存储位置和它的关键字之间建立一个确定的对应关系f，使得每个关键字key对应一个存储位置f(key)，存储位置=f(关键字)

散列函数、哈希（Hash）函数：f，注意：散列技术中最关键的是设计一个简单、均匀、利用率高的散列函数

散列表、哈希表（Hash table）：使用散列技术将记录存储在一块连续的存储空间中，该存储空间称为散列表，动态数组

散列地址：记录的存储位置/地址

散列过程：存储、查找

注意：散列技术既是存储方法，也是查找方法

注意：与之前的数据结构（线性表、树、图）不同，散列技术的记录之间不存在什么逻辑关系

注意：与之前不同，之前都是通过不断的比较查找出i，散列是通过公式计算出i，散列表查找非常高效

优缺点：散列表查找直接一步到位、非常高效，但弊端是记录之间没有任何关联，所以对于查找性能要求高，且记录之间关系无要求的数据非常使用

适合：查找与给定值相等的记录，且是主关键字的查找

不适合：次关键字的查找，范围查找，排序查找

冲突：关键字key1≠key2，但f(key1)=f(key2)，其中key1、key2称为这个散列函数的同义词

注意：冲突不能完全避免

1、构造散列函数：

原则：a.计算简单，b.散列地址分布均匀（保证存储空间的有效利用，减少为处理冲突而耗费的时间）

①直接定址法

取关键字的某个线性函数，f(key)=a*key+b；优点：简单、均匀、不会产生冲突；适合：事先知道关键字的分布，查找表较小且连续；不常用

②数字分析法

抽取，使用关键字的一部分来计算存储位置；适合：事先知道关键字的分布且关键字若干位的分布较均匀，关键字位数较多

③平方取中法

先（关键字^2）再抽取中间位；适合：不知道关键字分布，关键字位数较少

④折叠法

适合：不知道关键字分布，关键字位数较多

⑤除留余数法

散列表长m，f(key)=key MOD p，(p≦m)，其中可以对关键字取模，也可以在折叠、平方取中后再取模；缺点：p值取的不好，很容易有冲突、出现同义词，取的好也不容易避免冲突；最常用

⑥随机数法

f(key)=random(key)；适合：关键字长度不等

注意：如何选择以上方法，考虑因素：散列地址计算时间、散列表长度、关键字长度、关键字分布、记录查找频率

2、处理散列冲突

注意：1、2、4都是冲突换址，3是链表

①开放定址法，探测法

一旦发生冲突，就寻找下一个空的散列地址；fi(key)=(f(key)+di) MOD m，di=1,2,...,m-1，单向寻找，线性探测法

堆积：本来不是同义词却需要争夺一个地址的现象

改进，di=1^2,-1^2,2^2,-2^2,...,q^2,-q^2,(q≦m/2)，双向寻找，二次探测法

伪随机数，随机种子，di=random(di)，随机探测法

注意：只要散列表没有被填满，总能找到不发生冲突的地址

②再散列函数法

fi(key)=RHi(key)，i=1,2,...,k，RHi是不同的散列函数，一旦发生冲突就换一个散列函数

优点：使得关键字不会产生聚集

缺点：增加了计算时间

③链地址法

有冲突的关键字存储在一个单链表中，同义词子表

优点：冲突较多时，不会找不到空地址

缺点：查找时可能需要遍历单链表

④公共溢出区法

有冲突的关键字都放在公共溢出表，散列表=基本表+溢出表

查找：先通过散列函数得到散列地址在基本表中找，如果没有，再到溢出表中顺序找

适合：冲突较少的情况

3、散列表的查找

散列表的查找性能取决于：①关键字的分布，②散列函数的选择，③处理冲突的方法，④装填因子α

装填因子=记录个数/散列表长度，α=n/m，通常将散列表的空间设置的比查找表/集合大，空间换时间

注意：不管n有多大，我们总能选择一个合适的装填因子，将平均查找长度限定在一个范围之内