#UVA1635#Irrelevant Elements

无关的元素

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题目描述

对于给定的n个数a1，a2，...，an，依次求出相邻两数之和，将得到一个新数列。重复上述操作，最后结果将变成一个数。问这个数除以m的余数与哪些数无关？

例如n=3，m=2时，第一次求和得到a1+a2，a2+a3，再次求和得到a1+2a2+a3，它除以2的余数和a2无关。

输入

第1行：2个整数n和m（1<=n<=10^5, 2 <=m<=10^9）

输出

按升序列出与m无关的元素的序号，每行1个。

若与全部元素无关，输出0

样例输入

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5 3

样例输出

3

可以先列几个N出来观察(我就是这么看出来的)，然后看，可以发现对于N个未知数，最后它们每一项的系数就是杨辉三角

注意第i项的系数其实是C[N-1 , i-1]

所以就是求第N-1排的杨辉三角各个系数，有哪些项是M的倍数

然后很单纯地发现自己被骗了，题目中数据规模太大，这样的组合数先不讨论超时(不过看到有一种代码可以不超时地硬求)，可是是一定会炸储存的，除非高精度

开始四处翻求组合数的公式，看到有一个公式是C[m , n]=C[m , n-1]*(m-n+1)/n

可以发现C[m , n]是一定能被整除的

C[m , n]=m*(m-1)*(m-2)*....*(m-n+1)  /  1*2*3*....*n

C[m , n-1]=m*(m-1)*(m-1)*....*(m-n+2)  /  1*2*3*....*(n-1)

所以，只需从第N排第1个数开始检查 (N-i+1)/i 是否包含M的所有质因数就可以判断C[m,n]是否是M的倍数

在判断第C[m,n]时，C[m,n-1]已经判断过，且已经将它所包含的与M相同的质因数的个数记录下来了，

于是每次只判断(m-n+1)/n包含的与M相同的质因数的个数是否与M冲突即可

A题的时候有一个细节，就是关于分解m的质因数的枚举，以下有两种，第一种是我第一次交的代码中的，耗时明显比第二次的代码长很多

48ms:

void get_p(int m){    int cnt=0;    for(int i=2; i<=m;++i)if(m%i==0){        fac[++cnt][0]=i;        while(m%i==0)            m/=i,++fac[cnt][1];    }    fac[0][0]=cnt;    return ;}

16ms:

#include<iostream>#include<cstdio>#include<vector>#include<cmath>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long unsigned ULL;int N,M;int fac[100][2];int P[100];void get_p(int m){int cnt=0;for(int i=2; i*i<=m;++i)if(m%i==0){fac[++cnt][0]=i;while(m%i==0)m/=i,++fac[cnt][1];}if(m>1)fac[++cnt][0]=m,fac[cnt][1]=1;fac[0][0]=cnt;return ;}bool check(int m,int n){int a,b;//C[n,k]=C[n,k-1]*(n-k+1)/k;a=m-n+1;b=n;for(int i=1; i<=fac[0][0]; ++i){int p=fac[i][0];for(;a%p==0; a/=p,++P[i]);for(;b%p==0; b/=p,--P[i]);}for(int i=1; i<=fac[0][0]; ++i)if(P[i]<fac[i][1])return 0;return 1;}int main(){bool flag=0;scanf("%d%d",&N,&M);get_p(M);for(int i=2; i<=N; ++i)if(check(N-1,i-1))printf("%d\n",i),flag=1;if(!flag)printf("0\n");return 0;}