tarjan算法解决LCA问题

昨天学习了tarjan算法解决LCA问题，今天来总结一下。

首先，tarjan算法需要并查集的相关知识，你可以参考：并查集详解 (转)。然后可以简单应用并查集：并查集及其在最小生成树中的应用。

并查集最主要两点：路径压缩和按秩合并。前者在find函数中实现，后者在union函数中实现。后者意思是说我们在union操作中，总是要把节点数目少的树作为结点数目多的树的子树。

在求最小生成树的克鲁斯卡尔算法中，我们先对每条边排序。然后按照由小到大的顺序依次将每条边并入并查集，如果并入成功，这就是找到的最小生成树的又一边。否则，说明加入该边后存在环路，则取消并入。依次下去，就得到了最小生成树。

然后回到主题tarjan算法。你可以参考：LCA问题的Tarjan算法。如果不懂，这有对该博客的解释：并查集实现Tarjan算法。更详细的步骤演算这篇博客中有推理：LCA 最近公共祖先。

好了，我来说说tarjan算法的关键就行了。tarjan算法的关键就在于ancestor数组。该数组用来存储每个节点的祖先。注意，我们在tarjan算法中用到了并查集，但是并查集中每个集合的最终father并不是所谓的祖先，两个不是同一个东西！并查集中的father是一个叶子节点，为什么这么做呢？因为我们在更新中间节点的祖先时，采用ancestor[find(x)]=x操作，如果中间节点的祖先是它的叶子节点，那么find(x)操作会一直向下把直到叶子节点(它是最终father)上路径上所有节点的祖先都顺道成功更新了了！某个节点x的子树上所有节点的ancestor不正是x吗？只是因为x在DFS中，是后遍历并且并入并查集的节点，这个巧妙地操作就完成了x的子树上所有祖先ancestor的更新。

我的实现代码如下：

#include <iostream>#include <vector>using namespace std;const int MAXN = 1001;vector<int> tree[MAXN];int indegree[MAXN], ancestor[MAXN];int nvertex, root;int father[MAXN], rnk[MAXN];bool visited[MAXN];int nquery;vector<int> query[MAXN];void init(){       for(int i=0; i<nvertex; ++i){        tree[i].clear();        indegree[i] = 0;        ancestor[i] = i;        father[i] = i;        rnk[i] = 0;        visited[i] = false;        query[i].clear();    }}/*int find(int x){ int rt = x;    while(rt != father[rt])        rt = father[rt];    while(father[x] != rt){        int y = father[x];        father[x] = rt;        x = y;    }    return rt;}*/int find(int x){    if(x != father[x])        father[x] = find(father[x]);    return father[x];}void unin(int x, int y){    x = find(x), y = find(y);    if(x == y)  return ;    if(rnk[x] > rnk[y]) father[y] = x; else father[x] = y, rnk[y] += rnk[x] == rnk[y];}void tarjan(int x){    for(int i=0; i<tree[x].size(); ++i){        tarjan(tree[x][i]);        unin(x, tree[x][i]);        ancestor[find(x)] = x;    }    visited[x] = true;    for(int i=0; i<query[x].size(); ++i){        if(visited[query[x][i]])            printf("the LCA for %d and %d is %d\n", x, query[x][i], ancestor[find(query[x][i])]);    }}int main(){    scanf("%d", &nvertex);    init();    int x, y;    for(int i=1; i<nvertex; ++i){        scanf("%d%d", &x, &y);        tree[x].push_back(y); //x->y        indegree[y]++; }    scanf("%d", &nquery);    for(int i=0; i<nquery; ++i){        scanf("%d%d", &x, &y);        query[x].push_back(y);        query[y].push_back(x);    }    for(int i=0; i<nvertex; ++i)        if(indegree[i] == 0) { root = i; break; }    tarjan(root);    return 0;}

测试用图：

输入：

8      0 1   0 2   0 3   1 4   1 5   5 7   3 6    7    1 4   4 5   4 7   5 7   0 5   4 3   1 6

输出（我的输出结果不是这个，但输出是正确的，我没有截图）：

    7和4的最近公共祖先为：1    5和4的最近公共祖先为：1    5和7的最近公共祖先为：5    1和4的最近公共祖先为：1    6和1的最近公共祖先为：0    3和4的最近公共祖先为：0    0和5的最近公共祖先为：0

另外，如果要熟悉并查集，我这里还有两道算法题： 200. Number of Islands+130. Surrounded Regions(并查集/DFS)。