统计学9

卡方分布介绍

从概率密度图中看出，如果只从标准正态分布中抽样一次，n=1，得到接近0的可能性非常大，接近0的数再平方后会更接近0，所以得到小数值的概率非常高。随着n增加，小数值的平方和会增大，曲线会向右偏移。凸起部分越往右，某种程度上曲线越对称。

卡方分布大体上是衡量离期望值的总误差，可以理解为每个平方和都具有卡方分布。

皮尔逊卡方检验
考虑购入一家餐厅，问老板店内每天顾客数的分布，给出下图，周一来10%的顾客，周二来10%的顾客等等，周日休息。

想检验老板给出的分布和观察到的数据是否吻合。
定义零假设：老板的分布是正确的
备择假设：老板的分布不正确
显著性水平5%

假设零假设正确，那么按照老板给的分布，每天的顾客数应该如下图，顾客总数是30+14+34+45+57+20=200，周一来200*10%=20的顾客，周二来200*10%=20的顾客等等

下面计算卡方统计量，
X2=(30−20)220+(14−20)220+(34−30)230+(45−40)240+(57−60)260+(20−30)230=11.44
卡方统计量是将观测值与预计值之差平方，再用预计值标准化，最后求和。

先求临界卡方统计量，α=0.05，自由度是6-1=5，因为知道了前5天的占比就能求出最后一天的占比。从表格得到临界卡方统计量为11.07。而我们得到11.44，其概率小于显著性水平，拒绝零假设。

列联表卡方检验
假设有一些人相信能够预防流感的草药，随即将人分为3组，流感季节中1组服用草药1，2组服用草药2，3组服用安慰剂（实际没有效果）。
下面的表叫列联表，可以看出1组120人，2组共140人，3组共120人。

定义零假设：草药没效果
备择假设：草药有效果（好转或者恶化）
显著性水平10%

假设零假设正确，求出每个单元格的预计结果，将观测值与预计值之差平方，再用预计值标准化，最后求和。草药没有效果的前提下，草药对患病人数无影响，我们能求出患病或者不患病的人数。
得到样本观测值是80/380=21%的人患病，79%人没有患病。则组1预计有120*21%=25.3人患病，94.7人未患病；组2预计有140*21%=29.4人患病，110.6人未患病；组3预计有120*21%=25.3人患病，94.7人未患病。

计算卡方统计量
X2=(20−25.3)225.3+(30−29.4)229.4+(30−25.3)225.3+(100−94.7)294.7+(110−110.6)2110.6+(90−94.7)294.7=2.53
列联表的自由度公式是（行数-1）（列数-1），这里是2行3列，自由度为（2-1）（3-1）=2。α=0.1。从表格得到临界卡方统计量为4.6。而我们得到2.53，其概率大于显著性水平，接受零假设。