96. Unique Binary Search Trees -Medium

Question

Given n, how many structurally unique BST’s (binary search trees) that store values 1…n?

给出n，可以组成多少个不重复的BST（二叉查找树），其中每个结点的值为1…n

Example

Given n = 3, there are a total of 5 unique BST’s.

Solution

• 动态规划解。为了保证计算得到的BST都是不重复的，我们分别以每个结点（1…n）作为根节点。根据二叉树的特点，大于根节点的结点在其右子树，小于根节点的结点在其左子树。所以我们定义dp[i]：i个结点组成的不重复的BST个数。要计算dp[i]，我们只需分别计算以1…i作为根结点时的BST个数，而假设计算以j（j <= i）为根节点的BST个数我们只需要计算其左子树和右子树的BST个数，并将它们相乘即可。所以递推式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j] (j <= i)，它代表以j为根节点，dp[j - 1]代表其左子树的BST个数（即由j-1个结点能够组成几种BST），dp[i - j]代表其右子树的BST个数。

  # 递归版，不能AC，这里只是显示逻辑更易于理解class Solution(object):    def numTrees(self, n):        """        :type n: int        :rtype: int        """        return self.solve(n)    def solve(self, n):        if n <= 1: return 1        ways = 0        # 分别计算以1...n作为根节点的BST个数        for i in range(1, n + 1):            # 每个i作为根结点时的BST个数 = 左子树可以组成的BST个数 * 右子树可以组成的BST个数            # 其实就是i - 1和n - i个结点能够组成的BST的个数            ways += self.solve(i - 1) * self.solve(n - i)        return ways

  class Solution(object):    def numTrees(self, n):        """        :type n: int        :rtype: int        """        if n == 0: return 0        dp = [0] * (n + 1)        dp[0] = dp[1] = 1        for index_n in range(2, n + 1):            # 分别计算以j为根（j代表1...index_n）的二叉树的个数，并计算总和            for j in range(1, index_n + 1):                dp[index_n] += dp[j - 1] * dp[index_n - j]        return dp[-1]