数字三角形（动态规划）poj1163

问题描述

有一个由非负整数组成的三角形，第一行只有一个数，除了最下行之外每个数的左下方和右下方各有一个数，从第一行的数开始，每次可以往左下和右下走一格，直到走到最下行，把沿途经过的数全部加起来，如何才能使这个和最大？？

状态转移方程由来的分析

需要用抽象的方法思考问题：把当前的位置（i,j）看成一个状态，然后定义状态（i,j）的指标函数d(i,j)为从格子（i，j）出发时能得到的最大和（包括（i，j）本身的值）。在这个状态定义下，原问题的解为d(1,1).
从格子（i，j）出发有两种决策，往左下走或者往右下走，应选择d(i+1,j),d(i+1,j+1)中较大的那一个，即
d(i,j)=(i,j)+max{d(i+1,j),d(i+1,j+1)}

记忆化搜索与递推

！！注意边界处理：即i=n时

记忆化搜索

虽然不像递推法那样显示的指明了计算顺序，但可保证每个节点只访问一次，时间复杂度为o(n^2)
首先用“menset(d,-1,sizeof(d));”把d全部初始化为-1，然后编写递归函数

<php>int solve(int i,int j){if(d[i][j]!=-1)  return d[i][j]; return d[i][j]=a[i][j]+(i==n?0:max(solve(i+1,j),solve(i+1,j+1))); }

上述程序依然是递归的，但同时也把计算结果保存在数组d中。题目中说各个数都是非负的，只需把所有d初始化为-1，即可通过判断得知它是否已经被计算过。

递推计算

可以用递推法计算状态转移方程。递推的关键是边界和计算顺序。在多数情况下，地推的时间复杂度是状态总数每个状态的决策个数决策时间
时间复杂度同记忆化搜索

int i,j;for(j=1;j<=n;j++)  d[n][j]=a[n][j];for(i=n-1;i>=1;i--) for(j=1;j<=i;j++)    d[i][j]=a[i][j]+max(d[i+1][j],d[i+1][j+1]);

可以这样计算的原因是 i是逆序枚举的，因此在计算d[i][j]前，它所需要的d[i+1][j]和d[i+1][j+1]一定已经计算出来了。

OK来看典型例题

简单点直接贴代码

#include<cstdio>#include<iostream>#include<algorithm>int dp[105][105];int n;using namespace std;int main(){int i,j; while(scanf("%d",&n)!=EOF){for(i=1;i<=n;i++)  {for( j=1;j<=i;j++)   {scanf("%d",&dp[i][j]);}  } int DP(); printf("%d\n",DP());}return 0;}int DP(){   int i,j;for(int i=n-1;i>=1;i--){   for(j=1;j<=i;j++)    {    dp[i][j]+=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1]);    }}return dp[1][1];}