除法取模逆元,扩展欧几里得,费马小定理[数学]
来源:互联网 发布:饥荒mac中文版mod 编辑:程序博客网 时间:2024/05/24 00:04
一、除法取模逆元
在算法设计中,常会遇到求 a/b mod m的计算,当a很大,或者b很大,使得a/b的值无法直接计算的时候,通常采用逆元的方法,化除法为乘法。(逆元的概念在离散数学中 有学习)
a/b mod m 等价计算为 a*k mod m (k是b的模m乘法逆元)
证明过程:
由于k是b的模m乘法逆元。 即 b*k mod m == 1
b*k = xm + 1
k = (xm+1) / b
则 a * k mod m = a * (xm + 1) / b mod m
= a/b * (xm + 1) mod m
= xa/b * m mod m + a / b mod m
= a / b mod m
所以以上两式等价。
二、扩展欧几里得
欧几里得定理, gcd(a, b)用来求a,b的最大公约数。 gcd(a, b) = gcd(b, a%b) = gcd
扩展欧几里得定理:
对于不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数,必然存在整数对 x,y ,使得 gcd(a,b)=ax+by。
c++描述:
void exgcd(int a, int b, int &x, int &y) { if(0 == b){ x = 1, y = 0; return ; } exgcd(b, a%b, x, y); int flag = x; x = y; y = flag - a/b * y;}
通过扩展欧几里得定理,可以求出b的模m乘法逆元。
由于 b*k mod m == 1 所以 b*k + m*n == 1 即求解方程中的k即可得到逆元 即函数中的x就是其逆元。
三、费马小定理
假如p是质数,且gcd(a,p)=1,那么 a(p-1)≡1(mod p)
如果求解 a / b mod m 求 b 的模m乘法逆元,若b , m互质
则 k* b mod m = 1 且 b ^ (m-1) mod m = 1 所以 k* b = b ^ (m-1)
可直接得出b的模m乘法逆元为 b ^ (m-2)
在算法中常模1e9+7为质数,可用费马小定理转换。
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