9.1数字三角形

9.1.1问题描述与状态定义

回溯法过于麻烦，为了得到高效的算法，需要用抽象的方法思考问题：把当前的位置(i,j)看出一个状态，然后定义状态(i,j)的指标函数d(i,j)为从格子(i,j)发出时能得到的最大和（包括格子（i,j）本身的值）。在这个状态定义下，原问题的解是d(1,1)

状态转移方程

d(i,j)=a(i,j)+max{d(i+1,j),d(i+1,j+1)}

9.1.2记忆化搜索与递归

方法一：递归计算

int solve(int i,int j){    return a[i][j]+(i==n?0:max(solve(i+1,j),solve(i+1,j+1)));}

这样做虽然正确，可是时间效率低，在于重复计算，同样的子问题倍计算了很多次

方法二：递推计算

int i,j;for(j=1;j<=n;j++) d[n][j]=a[n][j];for(i=n-1;i>=1;i--)    for(j=1;j<=i;j++)        d[i][j]=a[i][j]+max(d[i+1][j],d[i+1][j+1]);

时间复杂度为 N*N；

方法3：记忆化搜索

程序分成两个部分，首先用“memset(d,-1,sizeof(d));” 把d全部初始化为-1，然后编写递归函数

int solve(int i,j){    if(d[i][j]>=0)        return d[i][j];    return d[i][j]=a[i][j]+(i==n?0:max(solve(i+1,j),solve(i+1,j+1)))}