动态规划之背包问题01

动态规划之背包问题01

1.问题描述

背包问题具体例子：假设现有容量10kg的背包，另外有3个物品，分别为a1，a2，a3。物品a1重量为3kg，价值为4；物品a2重量为4kg，价值为5；物品a3重量为5kg，价值为6。将哪些物品放入背包可使得背包中的总价值最大？

2.分析

首先想到的，一般是穷举法，一个一个地试，对于数目小的例子适用，如果容量增大，物品增多，这种方法就无用武之地了。
　　其次，可以先把价值最大的物体放入，这已经是贪婪算法的雏形了。如果不添加某些特定条件，结果未必可行。
　　最后，就是动态规划的思路了。先将原始问题一般化，欲求背包能够获得的总价值，即欲求前i个物体放入容量为m（kg）背包的最大价值c[i][m]——使用一个数组来存储最大价值，当m取10，i取3时，即原始问题了。而前i个物体放入容量为m（kg）的背包，又可以转化成前(i-1)个物体放入背包的问题。下面使用数学表达式描述它们两者之间的具体关系。
　　表达式中各个符号的具体含义。
　　w[i] : 第i个物体的重量；
　　p[i] : 第i个物体的价值；
　　c[i][m] ： 前i个物体放入容量为m的背包的最大价值；
　　c[i-1][m] ： 前i-1个物体放入容量为m的背包的最大价值；
　　c[i-1][m-w[i]] ： 前i-1个物体放入容量为m-w[i]的背包的最大价值；
　　由此可得：
　　　　　　c[i][m]=max{c[i-1][m-w[i]]+pi , c[i-1][m]}（下图将给出更具体的解释）
　　　　　　

3.代码

public class MyBackPack {    public static void main(String[] args) {        Scanner scanner = new Scanner(System.in);        int weight = scanner.nextInt();        scanner.nextLine();        String str_w = scanner.nextLine();        String str_v = scanner.nextLine();        int[] w = initArray(str_w);//初始化数组        int[] v = initArray(str_v);        int c[][]=new int[w.length+1][weight+1];//c[i][j]表示前i个物品放入重量为j的背包中的最大价值         bp(c,w, v, w.length, weight);        for (int i = 1; i <= w.length; i++) {            int j=1;            for ( j = 1; j <= weight; j++) {                System.out.print(c[i][j] + "\t");            }            System.out.println();        }    }//自底向上    /**     * @param c     * @param w      表示商品重量数组     * @param v      表示商品价值数组     * @param length 表示商品个数     * @param weight 表示背包的最大容量     */    private static int[][] bp(int[][] c, int[] w, int[] v, int length, int weight) {        //初始化第一行第一列        for (int i = 0; i < length + 1; i++) {            c[i][0] = 0;        }        for (int i = 0; i < weight + 1; i++) {            c[0][i] = 0;        }        for (int i = 1; i < length + 1; i++) {//从第一个开始            for (int j = 1; j < weight + 1; j++) {//重量从1到weight                if (w[i - 1] <= j)//w[i-1]代表第i个的重量                {                    if (c[i - 1][j] < (c[i - 1][j - w[i - 1]] + v[i - 1]))//v[i-1]表示第i个的价值                    {                        c[i][j] = c[i - 1][j - w[i - 1]] + v[i - 1];                    } else {                        c[i][j] = c[i - 1][j];                    }                } else {                    c[i][j] = c[i - 1][j];                }            }        }        return c;    }    private static int[] initArray(String str_w) {        String[] temp = str_w.split("\\s+");        int[] w = new int[temp.length];        for (int i = 0; i < temp.length; i++) {            w[i] = Integer.parseInt(temp[i]);        }        return w;    }}

4.运行结果

10
3 4 5
4 5 6
0 0 4 4 4 4 4 4 4 4
0 0 4 5 5 5 9 9 9 9
0 0 4 5 6 6 9 10 11 11