快速幂原理解析与其他方法回顾

快速幂原理解析与其他方法回顾

 

目录：
一.回顾朴素法与使用库函数，分析利弊。

二.引例：指数的分解，即快速幂的原理。

三.源代码。

 

正文：

　一.回顾

　　1.1.已知的方法

　　关于求a的n次方，有几种做法呐？对于初学者来说有两种。如下所示

1 void poww1(int a, int b){2     long long ans = 1;3     for(register int i = 0; i < b; i++)4         ans *= a;5     return ans;6 }

1 　#include <cmath>//poww22     ans = (long long) pow(a, b);//调用cmath库的pow函数，但是注意返回值不是longlong/int型，是double型

　　观察poww1，一个明显的问题便是它的时间复杂度比较高，是O(n)的复杂度，即n次方需要乘n次才可得到结果，较慢。

　　观察poww2，更加明显的问题在于其函数的返回值是个浮点数，这是一个定时炸弹，有可能使用pow(10, 4)时得到9999的答案，让你调试后欲哭无泪。

 

　　1.2. 测试对比

　　测试程序如下：

 1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cmath> 4 using namespace std; 5 int main(){    6      int n = 0;   7      for(int i = 0; i <= 4; i++)   8          n += (i+1)*(int)pow(10, 5-i);   9      cout << n << endl;  10      return 0;  11 }

 

　　使用Dev-C++ 5.4.0 与Smart c++ 2013分别运行，得到测试数据：

　　由于精度问题，结果不同。

　　有人会说："不要强转成int啊，用long long 就不会丢失精度啦。"

　　那么将循环改成——

1 for(int i = 0; i <= 4; i++)  2     n += kong[i]*(long long)pow(10, 5-i); 

　　测试结果如下：

　　根本就没有变哎！

 

　　1.3.对比两种方法运行的时间与准确性

　　利用循环次数更大的测试程序如下：

1     int i;  2     long long n = 0;  3     for(i = 0; i <= 10; i++){4         n += (i+3)*(long long)pow(5, 11-i);  5     }6     cout << n << endl;  

 1 long long poww(int a, int b){ 2     long long ans = 1; 3     for(int i = 0; i < b; i++) 4         ans *= a; 5     return ans; 6 } 7 int main(){   8     int i;   9     long long n = 0;  10     for(i = 0; i <= 10; i++){11         n += (i+3)*(long long)pow(5, 11-i);  12     }13     cout << n << endl;  14     return 0;  15 }

　　运行结果如下：

　　（上下分别是方法二与方法一）

 

　　1.4. 结论

　　两者优劣一目了然：方法一相对较快且保证在不超范围内一定正确，不过要多打几行代码；方法二短，但是坑。

　　若选择以上两种方法，自己选吧。。。

　　那么我们的目标便是继承方法一的优点，改良其缺点：即保持准确性的情况下降低时间复杂度。

 

　二.快速幂引理

　　2.1.先看效果：

　　答案一致，时间不到方法一的1/2，并且在当次方数极大的时候，时间会远小于方法一,原因便是因为其时间复杂度为O(logn)（logn通常指log2n）。

 

　　2.2引理的数学形式

　　引理：∀ 取X∈N*皆可被分解为形如X = 2^a+2^b+...+2^k(a != b !=  ……  != k);

　　设2^0+2^1+2^2+…+2^n = m;……(1)式

　　2^1+2^2+2^3+…+2^(n+1) = 2*m;……(2)式

　　(2)式-(1) 式= (1)式 = 2^(n+1)-2^0 = 2^(n+1)-1……(*)

　　当X != 2^m时

　　∵int X > 0;

　　∴ X = 2^m - 1 - k(int k >= 0);

　　if(x%2 == 1)　　k %2 == 0;

　　else k%2 == 1;

　　∵2^m - 1 = 2^0 + 2^1 + … +2^(m-1);

　　∴若原式成立，则k可分解为2某些次方的和。

　　当k%2 == 1时，必有2^0,减掉，k为偶数;

　　那么现在X 就缩小为了正偶数。

　　观察2 4 8 16 ……我们会发现一点，即第i个数后面的数都2^i有作为因数，而它前面的数因数中则没有2^i，通过这个便可以确定k的分解。

　　利用递归的思想……X缩小为4的倍数，8的倍数……

 

　　2.3例子：

　　举个例子 : k = 17的分解，按照以下步骤。

　　int cnt = 1;

　　while (k){

　　　if(k%(2^cnt) != 0) {

　　　　k得到新的分解 : 2^(cnt-1);

　　　　k -= 2^(cnt-1);

　　　　//此时k%2(cnt) == 0

　　　　cnt ++;

　　}

　}

　　17%2 == 1; =>　17 = 2^0 + m;　17-1 = 16;

　　16%2 == 0; =>　16/2 = 8　

　　……

　　1%2 == 1; =>17 = 2^0 +2^4;

 　　1/2 == 0 终止循环； 

　　那么这种东东对做幂运算有什么用呢？

　　答案便是 —— 将指数按照此方法分解。

　　例如：求6^11

　　我们已知 6^0 == 1 ,a ==  6^1 == 6;

　　11 == 2^0 + 2^1 + 2^3;

　　所以 6^11 == 6^1 * 6^2 * 6^8;

　　我们还知道 a^2 == 36;

　　那么我们将上述分解指数的步骤加入乘法以获得最终解：

　　curr = 6;ans = 1;

　　11 % 2 == 1 => ans *= 6^0;curr = 6^2

　　5 %2 == 1 => ans *= 6^2;curr = 6^4;

　　2%2 == 0 =>curr = 6^8;

　　1%2 == 0 ans *=curr; ans = 6^11;

　　一共用了ceil(log(2)11) = 4 步

　　每次curr自我平方一次，以准备下一次的使用。而当k%2 == 1 时，就意味着需要使用curr将指数进行分解。

 

　　2.4.源代码 

　　那么给出源代码:

 1 void poww(int a, int b){ 2     long long curr = a,ans = 1, last; 3     while (b){ 4         if(b%2)    ans *= curr; 5         curr *= curr; 6         b /= 2; 7     } 8     return ; 9 }

　　步骤与上面一模一样。

　　由此，快速幂便完成了。　

　　箜瑟_qi 2016.02.08