HDU 1573 中国剩余定理 + 不互质

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题解

中国剩余定理不互质
两两合并： 先可以先找两个同余方程 设通解为N；
N=r1(mod(m1)),N=r2(mod(m2))；
显然可以化为k1*m1+r1=k2*m2+r2;—>k1*m1+(-k2*m2)=r2-r1;
设a=m1,b=m2,x=k1,y=(-k2),c=r2-r1方程可写为ax+by=c;
由欧几里得解得x即可,那么将x化为原方程的最小正整数解，(x*(c/d)%(b/d)+(b/d))%(b/d);
这里看不懂的去看解模线性方程。那么这个x就是原方程的最小整数解。
所以N=a*（x+n*（b/d））+r1====N=(a*b/d)*n+(a*x+r1),
这里只有n为未知数所以又是一个N=(a*x+r1)(mod(a*b/d))的式子，
然后只要不断的将两个式变成一个式子，最后就能解出这个方程组的解。

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code

/** *@author : adrui *///package adrui;import java.util.*;import static java.lang.System.*;public class Main {    public static void main(String...args){        Scanner in = new Scanner(System.in);        long t = in.nextLong();        long[] mod = new long[15];        long[] left = new long[15];        while(t-- > 0){            long N = in.nextLong(), n = in.nextLong();            for(int i = 1; i <= n; ++i) mod[i] = in.nextLong();            for(int i = 1; i <= n; ++i) left[i] = in.nextLong();            long modNum = mod[1], leftNum = left[1];            long[] x = new long[1];            long[] y = new long[1];            boolean f = true;            for(int i = 2; i <= n; ++i){                long gcd = expgcd(modNum, mod[i], x, y);                long c = left[i] - leftNum;                if(c % gcd != 0){f = false; break;}/**判断是否有解*/                x[0] *= c / gcd;                long t1 = modNum, t2 = mod[i] / gcd;                x[0] = (x[0] % t2 + t2) % t2;                modNum = t1 * t2;//模数                leftNum = ((leftNum + t1 * x[0]) % modNum + modNum) % modNum;//余数合并            }            long ans = 0;            if(f){                if(leftNum <= N) ++ans;                ans += (N - leftNum) / modNum;                if(leftNum == 0) --ans;/**排0...*/            }            out.println(ans);        }        in.close();    }    public static long expgcd(long a, long b, long[] x, long[] y) {        if(b == 0){            x[0] = 1;            y[0] = 0;            return a;        }        long d = expgcd(b, a % b, y, x);        y[0] -= a / b * x[0];        return d;    }}