数学知识

莫比乌斯反演
设F(n)和f(n)为定义在非负整数集合上的函数，令F(n)=∑d|nf(d),则有结论：
f(n)=∑d|nμ(d)F(nd)
函数μ的定义如下：
（1）若d=1，那么 μ(d)=1;
（2）若d=p1∗p2∗…∗pk，pi均为互异素数，那么μ(d)=(−1)k;
（3）其它情况下μ(d)=0;

对于函数，它有如下的常见性质：
（1）对任意正整数有

（2）对任意正整数有

证明:∑d|nμ(d)F(nd)=∑d|nμ(d)∗∑d′|ndf(d′)=∑d′|nf(d′)∑d|nd′=f(n)

错排公式
D(n)=n!∗∑ni=2−1i∗1i!=[n!e+0.5];