[带标号无向连通图计数 容斥原理 多项式求逆 多项式求ln 模板题] BZOJ 3456 城市规划

可以通过容斥求出答案的表达式

fi=2C2i−∑j=1i−1Cj−1i−1∗fj∗2C2i−j

其中前一部分表示i个点任意连边 后半部分枚举1所在的连通块然后容斥掉

∑j=1ifj(j−1)!∗2C2i−j(i−j)!=2C2i(i−1)!

这是个卷积的形式 分别令

A=∑i=1nfi(i−1)!xi

B=∑i=0n2C2ii!xi

C=∑i=1n2C2i(i−1)!xi

所以 A∗B=C
那么 A≡C∗B−1 ( mod xn+1)
这个多项式求逆下就好了

UPD：
这里提到了另一种简洁的理解方法
n个标号点任意无向图的EGF为

G=∑i=0n2C2ii!xi

n个标号点连通无向图的EGF为

F=∑i=1nfii!xi

根据eF(x)的组合意义 也就是集合和划分的关系 我们得G=eF
也就是

F=lnG

多项式求ln？ 把两边同时取导数

F′(x)=G′(x)G(x)

也就是一个 求导 求逆 乘法 积分
我们发现这和之前的方法是一致的
实际上 A=F′∗x,B=G,C=G′∗x
A∗B=C就是F′∗G=G′ 只不过等式两边都乘了x

#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long ll;const int N=600005;const int P=1004535809;const int G=3;inline int Pow(ll a,int b){  ll ret=1;  for (;b;b>>=1,a=a*a%P) if (b&1) ret=ret*a%P;  return (int)ret;}int num;int w[2][N];inline void Pre(int n){  num=n;  int g=Pow(G,(P-1)/num),invg=Pow(g,P-2);  w[0][0]=w[1][0]=1;  for (int i=1;i<num;i++)    w[0][i]=(ll)w[0][i-1]*invg%P,w[1][i]=(ll)w[1][i-1]*g%P;}int R[N];inline void FFT(int *a,int n,int r){  for (int i=0;i<n;i++) if (i<R[i]) swap(a[i],a[R[i]]);  for (int i=1;i<n;i<<=1)    for (int j=0;j<n;j+=(i<<1))      for (int k=0;k<i;k++){    ll x=a[j+k],y=(ll)w[r][num/(i<<1)*k]*a[j+i+k]%P;    a[j+k]=(x+y)%P; a[j+i+k]=(x+P-y)%P;      }  if (!r) for (int i=0,inv=Pow(n,P-2);i<n;i++) a[i]=(ll)a[i]*inv%P;}inline void GetInv(int *a,int *b,int n){  static int tmp[N];  if (n==1) return void(b[0]=Pow(a[0],P-2));  GetInv(a,b,n>>1);  for (int i=0;i<n;i++) tmp[i]=a[i],tmp[n+i]=0;  int L=0; while (!(n>>L&1)) L++;  for (int i=1;i<(n<<1);i++) R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<L);  FFT(tmp,n<<1,1); FFT(b,n<<1,1);  for (int i=0;i<(n<<1);i++)    tmp[i]=(ll)b[i]*(2+P-(ll)tmp[i]*b[i]%P)%P;  FFT(tmp,n<<1,0);  for (int i=0;i<n;i++) b[i]=tmp[i],b[n+i]=0;}int n,m;ll fac[N];int A[N],B[N],C[N],invB[N];int main(){  freopen("t.in","r",stdin);  freopen("t.out","w",stdout);  scanf("%d",&n);  for (m=1;m<=n;m<<=1); Pre(m<<1);  fac[0]=1; for (int i=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%P;  for (int i=0;i<=n;i++)    B[i]=(ll)Pow(2,((ll)i*(i-1)>>1)%(P-1))*Pow(fac[i],P-2)%P;  for (int i=1;i<=n;i++)    C[i]=(ll)Pow(2,((ll)i*(i-1)>>1)%(P-1))*Pow(fac[i-1],P-2)%P;  GetInv(B,invB,m);  FFT(invB,m<<1,1); FFT(C,m<<1,1);  for (int i=0;i<m<<1;i++) A[i]=(ll)invB[i]*C[i]%P;  FFT(A,m<<1,0);  printf("%lld\n",A[n]*fac[n-1]%P);  return 0;}