31届宁波市中小学生程序设计竞赛复赛(初中组)

第4题-猴子上树

来源于宁波市程序设计竞赛复赛（初中组）

n≤5000，m≤n，显然O(n^3)的复杂度不能接受，那么考虑O(n^2)或者O(n^2*lg(n))的解法。最少需要消耗多少能量，看起来是一个好像具有最优子结构的问题，那么尝试是否能用动态规划来求解。
仔细分析，可以发现最后一只猴子最优情况下肯定是爬上最后一棵树，那么这样就存在了重复子问题，动态规划无疑了。
考虑状态的表示，我们用dp[i][j]来表示前i只猴子爬上前j颗树，并且保证，每棵树至少有一只猴子的最小花费。
那么状态转移方程就可以表示成
dp[i][j]=min(dp[k][j-1]+sum[i][j]-sum[k][j]),
此处sum[i][j]表示前i只猴子都爬上第j颗树的花费。
至此，我们已经找到了解法。但是此处i,j,k三层循环，总的复杂度达到了O(n^3),只能通过前一半的测试数据，因此还需进行优化。
考虑一个问题，在计算dp[i][j]的时候，我们枚举了k，这里枚举k是否有必要呢？dp[i][j]=dp[k][j-1]+sum[i][j]-sum[k][j],无非表示前i只猴子中的前k只上了前j-1棵树,剩下的上了第j棵树。我们完全可以用dp[i][j]=dp[i-1][j]+sum[i][j]-sum[i-1][j]来表示。
因为dp[i-1][j]已然包含了dp[k][j-1]的情况。
那么转移方程可以进一步简化成
dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j])+dis(i,j)。
这样我们就把时间复杂度降低到了O(n^2)。
但是还没有结束，此题对于内存有着一定的限制，开一个5000*5000的数组是会超内存的，我们观察到，dp[x][j]只与dp[x][j-1]存在关系，与dp[x][j-2],dp[x][j-3]…均无递推关系。因此我们可以重复利用之前赋值过的空间，即滚动数组降低空间复杂度，那么转移方程就变成了
dp[i][j%2]=min(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j])+dis(i,j);

#include<cmath>#include<ctime>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<iostream>#include<algorithm>#define LL long longusing namespace std;const int maxn=5005;const LL Inf=1e18;LL dp[maxn][2];LL sum[maxn];LL mokey[maxn], tree[maxn];LL dis(LL mp,LL tp){    return abs(mokey[mp]-tree[tp]);}int main(){    LL ans;    int n, m;    freopen("tree.in","r",stdin);//从in.txt中读取数据    freopen("tree.out","w",stdout);//输出到out.txt文件    scanf("%d",&n);    for(int i=1;i<=n;i++)        scanf("%lld",&mokey[i]);    scanf("%d",&m);    for(int i=1;i<=m;i++)        scanf("%lld",&tree[i]);    sort(mokey+1,mokey+1+n);    sort(tree+1,tree+1+m);    for(int i=1;i<=n;i++)        dp[i][1]=dp[i-1][1]+dis(i,1);    for(int j=2;j<=m;j++){        dp[j][j%2]=dp[j-1][(j-1)%2]+dis(j,j);        for(int i=j+1;i<=n;i++){            dp[i][j%2]=min(dp[i-1][(j-1)%2],dp[i-1][j%2])+dis(i,j);        }    }    printf("%lld\n",dp[n][m%2]);    return 0;}