蓝桥杯 金陵十三钗

金陵十三钗
　　本题难度：难
　　本题占分比例：5%

问题描述

　　在电影《金陵十三钗》中有十二个秦淮河的女人要自我牺牲代替十二个女学生去赴日本人的死亡宴会。为了不让日本人发现，自然需要一番乔装打扮。但由于天生材质的原因，每个人和每个人之间的相似度是不同的。由于我们这是编程题，因此情况就变成了金陵n钗。给出n个女人和n个学生的相似度矩阵，求她们之间的匹配所能获得的最大相似度。
　　所谓相似度矩阵是一个n*n的二维数组like[i][j]。其中i,j分别为女人的编号和学生的编号，皆从0到n-1编号。like[i][j]是一个0到100的整数值，表示第i个女人和第j个学生的相似度，值越大相似度越大，比如0表示完全不相似，100表示百分之百一样。每个女人都需要找一个自己代替的女学生。
　　最终要使两边一一配对，形成一个匹配。请编程找到一种匹配方案，使各对女人和女学生之间的相似度之和最大。

输入格式

　　第一行一个正整数n表示有n个秦淮河女人和n个女学生
　　接下来n行给出相似度，每行n个0到100的整数，依次对应二维矩阵的n行n列。

输出格式

　　仅一行，一个整数，表示可获得的最大相似度。

样例输入

4
97 91 68 14
8 33 27 92
36 32 98 53
73 7 17 82

样例输出

354

数据规模和约定

　　对于70%的数据，n<=10
　　对于100%的数据，n<=13

样例说明

　　最大相似度为91+92+93+73=354

这个题最简单直接的思路是采用DFS搜索，一共有n!种情况，在n<=10的时候能通过测试数据，测试了一下，通过70%的数据，30%超时。代码如下：

#include<iostream>using namespace std;int mat[13][13],vis[13];//vis[i]=1表示已经选定int ans=0,n;void dfs(int cur,int sum)//cur表示当前已经选定的人数，sum表示相似度的和{if(cur==n){ans=max(sum,ans);return;}for(int i=0;i<n;i++){if(!vis[i]){vis[i]=1;dfs(cur+1,sum+mat[cur][i]);vis[i]=0;}}}int main(){cin>>n;for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<n;j++)cin>>mat[i][j];dfs(0,0);cout<<ans;return 0;}

另外一种思路是采用状态压缩的动态规划，状态转移方程为dp[i][j]=max(dp[i][k]+like[i][t]),前i个学生与状态J匹配的最大相似和，其中j为二进制数，如j=5即二进制数0101，表示第一个女人和第三个女人与前两个学生匹配，k为j中将第t位替换为0之后的数。时间复杂度O(n*n*2^n)

#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;int like[13][13], n;int d[14][(1 << 13) - 1];void dp(){int i, j, k, t;for (i = 0;i<n;i++)for (j = 1;j<1 << n;j++){int c = 0;for (k = 0;k<n;k++)if (j&(1 << k))c++;if (c != i + 1)  continue;if (i == 0){for (t = 0;t<n;t++)if (j&(1 << t))d[i][j] = like[i][t];}elsefor (t = 0;t<n;t++)if (j&(1 << t)){int s = (~(1 << t))&j;d[i][j] = max(d[i][j], d[i - 1][s] + like[i][t]);}}}int main(){cin >> n;for (int i = 0;i<n;i++)for (int j = 0;j<n;j++)cin >> like[i][j];dp();cout << d[n - 1][(1 << n) - 1];return 0;}