数据结构——树（1）：树的基本概念，二叉树、完全二叉树、满二叉树、搜索二叉树

树

树这个数据结构用到了递归的概念：树的子树还是树；
度degree：节点的子树个数；
树的度：树中任意节点的度的最大值；
兄弟sibling：两节点的parent相同；
层layer：根在第一层，以此类推；
高度height：叶子节点的高度为1，根节点高度最高；
有序树：树中各个节点是有次序的；
森林forest：多个树组成；

树的表示方法：

1，亲表示法
2，子表示法
3，亲子表示法
4，亲子兄弟表示法

树的类型：

1，线性表是树的一种特例
2，斜树
3，二叉树——完全二叉树——满二叉树

树的存储方式：

1，顺序存储：只适用于完全二叉树——完全二叉树和数组可以一一对应互转
2，链表存储：通用的存储方式

二叉树

度不超过2的树（度全是1就是线性表）：

二叉树性质

1.第i层至多有2^（i-1）个节点；
2.深度为k的二叉树最多有2^k -1个节点；
3.任意二叉树，度为0的节点数等于度为2的节点数+1；

二叉树的遍历

(1)前序遍历：先双亲、再左孩子、最后右孩子；
(2)中序遍历：先左孩子、再双亲、最后右孩子；
(3)后序遍历：先左孩子、再右孩子、最后双亲；
(4)层次遍历：一层一层，从左到右、从上到下遍历；

二叉树前序，中序，后序互求：http://blog.csdn.net/picway/article/details/72229650

扩展二叉树

对于一般二叉树的扩充，为了能够通过一个遍历序列建立二叉树，扩展二叉树如图所示：

如果存在遍历序列：AB##C##,则可以很容易的建立二叉树；
此种方式很方便，因为一般来说都需要三种遍历方式中的两种才可以确定一个二叉树；

树、森林、二叉树的转换

树转二叉树：

森林转二叉树：

二叉树转树：

二叉树转森林：

特殊二叉树

完全二叉树

完全二叉树的特点：
（1）叶子结点只能出现在最下两层。
（2）最下层的叶子一定集中在左部连续位置
（3）倒数二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置。
（4）如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即不存在只有右子树的情况。
（5）同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小。

（即元素是由上到下由左到右顺次排列到二叉树中的，如果元素个数是2^n-1个，则排成满二叉树）

满二叉树

满二叉树的特点有：
（1）叶子只能出现在最下一层。
（2）非叶子结点的度一定是2。
（3）在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子树最多。

注意：满二叉树一定是棵完全二叉树，但完全二叉树不一定是满的。

二叉搜索树

二叉查找树定义：具有下列性质的二叉树称为二叉搜索树：
　　1) 若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
　　2) 若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值；
　　3) 左、右子树也分别为二叉排序树；
　　4) 没有键值相等的节点。

空树也是一个二叉搜索树。

对于一个二叉搜索树，最小值在最左的叶节点上，最大值在最右的叶节点上。

二叉查找树的插入过程如下：

　　1) 若当前的二叉查找树为空，则插入的元素为根节点;

　　2) 若插入的元素值小于根节点值，则将元素插入到左子树中;

　　3) 若插入的元素值不小于根节点值，则将元素插入到右子树中。

二叉查找树的删除，分三种情况进行处理：

　　1) p为叶子节点，直接删除该节点，再修改其父节点的指针。
　　2) p为单支节点（即只有左子树或右子树）。让p的子树与p的父亲节点相连，删除p即可（注意分是根节点和不是根节点）;

　　3) p的左子树和右子树均不空。找到左子树的最大值，或右子树的最小值，移到p的位置。

　　二叉查找树的性质：对二叉查找树进行中序遍历，即可得到有序的数列。
　　
　　二叉查找树的时间复杂度：它和二分查找一样，插入和查找的时间复杂度均为O(logn)，但是在最坏的情况下仍然会有O(n)的时间复杂度。原因在于插入和删除元素的时候，树没有保持平衡。我们追求的是在最坏的情况下仍然有较好的时间复杂度，这就是平衡查找树设计的初衷。
　　二叉查找树的高度决定了二叉查找树的查找效率。
　　

参考资料：
http://www.cnblogs.com/maybe2030/p/4732377.html
http://blog.csdn.net/xiazdong/article/details/7296257
http://blog.csdn.net/jnu_simba/article/details/8853822
http://dongxicheng.org/structure/trietree/
https://www.zhihu.com/question/20176446