bzoj 1143 && bzoj 2718 最长反链

题意：n个点，m条有向边，求最长反链

又到了涨姿势的时候了...(果然蒟蒻）

DAG中，有如下的一些定义和性质：

链：一条链是一些点的集合，链上任意两个点x, y，满足要么 x 能到达 y ，要么 y 能到达 x 。

反链：一条反链是一些点的集合，链上任意两个点x, y，满足 x 不能到达 y，且 y 也不能到达 x。

一个定理：最长反链长度 = 最小链覆盖（用最少的链覆盖所有顶点）

对偶定理：最长链长度 = 最小反链覆盖                                                                  

那么我们要求出的就是这个有向无环图的最小链覆盖了。

最小链覆盖即路径可以相交的最小路径覆盖。

先看路径不能相交的最小路径覆盖怎么来做：

建立一个二分图，两边都是n个点，原图的每个点 i 对应两个，在左边的编号 i, 在右边的编号 n+i。

原图中如果存在一条边 (x, y)，那么就在二分图中连一条 (x1, y2) 的边。

则 原图的最小路径覆盖（路径不能相交）= n-二分图最大匹配

那么路径可以相交的最小路径覆盖（最小链覆盖）呢？

将原图做一次Floyd传递闭包，得出x是否能到达y

如果两个点 x, y，满足 x 可以到达 y ，那么就在二分图中建立边 (x1, y2) 。

这里与上面不同，只要 x 能到达 y ，就直接连一条边 (x, y)，

然后就转化为了路径不能相交的最小路径覆盖了。

即 原图的最小链覆盖 = n -二分图最大匹配

bzoj 1143

var        n,m,x,y,ans,l   :longint;        i,j             :longint;        map             :array[0..110,0..110] of boolean;        link,last       :array[0..210] of longint;        flag            :array[0..210] of boolean;        pre,other       :array[0..10010] of longint;procedure floyd;var        i,j,k:longint;begin   for k:=1 to n do     for i:=1 to n do       for j:=1 to n do         map[i,j]:=(map[i,k] and map[k,j]) or map[i,j];end;procedure connect(x,y:longint);begin   inc(l);   pre[l]:=last[x];   last[x]:=l;   other[l]:=y;end;function find(x:longint):boolean;var    p,q:longint;begin   q:=last[x];   while (q<>0) do   begin      p:=other[q];      if not flag[p] then      begin         flag[p]:=true;         if (link[p]=0) or (find(link[p])) then         begin            link[p]:=x;            exit(true);         end;      end;      q:=pre[q];   end;   exit(false);end;begin   read(n,m);   for i:=1 to m do   begin      read(x,y);      map[x,y]:=true;   end;   floyd;   for i:=1 to n do     for j:=1 to n do       if map[i,j] then connect(i,n+j);   ans:=0;   for i:=1 to n do   begin      fillchar(flag,sizeof(flag),false);      if find(i) then inc(ans);   end;   ans:=n-ans;   writeln(ans);end.

bzoj 2718

var        n,m,x,y,ans,l   :longint;        i,j             :longint;        map             :array[0..210,0..210] of boolean;        pre,other       :array[0..40010] of longint;        flag            :array[0..410] of boolean;        last,link       :array[0..410] of longint;procedure connect(x,y:longint);begin   inc(l);   pre[l]:=last[x];   last[x]:=l;   other[l]:=y;end;procedure floyd;var        i,j,k:longint;begin   for k:=1 to n do     for i:=1 to n do       for j:=1 to n do         map[i,j]:=map[i,j] or (map[i,k] and map[k,j]);end;function find(x:Longint):boolean;var        p,q:longint;begin   q:=last[x];   while (q<>0) do   begin      p:=other[q];      if not flag[p] then      begin         flag[p]:=true;         if (link[p]=0) or find(link[p]) then         begin            link[p]:=x;            exit(true);         end;      end;      q:=pre[q];   end;   exit(false);end;begin   read(n,m);   for i:=1 to m do   begin      read(x,y);      map[x,y]:=true;   end;   floyd;   for i:=1 to n do     for j:=1 to n do       if map[i,j] then connect(i,n+j);   //   ans:=0;   for i:=1 to n do   begin      fillchar(flag,sizeof(flag),false);      if find(i) then inc(ans);   end;   writeln(n-ans);end.

——by Eirlys