[题解]bzoj1013(JSOI2008)球形空间产生器sphere

Description

　　有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球
面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

　　第一行是一个整数n(1<=N=10)。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点
后6位，且其绝对值都不超过20000。

Output

　　有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点
后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

Sample Output

0.500 1.500

HINT

　　提示：给出两个定义：1、 球心：到球面上任意一点距离都相等的点。2、 距离：设两个n为空间上的点A, B

的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn)，则AB的距离定义为：dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 +

… + (an-bn)^2 )

Solution

我们以二维空间为例，设球心为(x,y)，那么根据给出的两个点(a1,b1)、(a2,b2)，我们可以列出方程：

(x−a1)2+(y−b1)2=(x−a2)2+(y−b2)2

化简之后可以得到线性方程组：

2(a1−a2)x+2(b1−b2)y=a21−a22+b21−b22

这样每两个点可以得到一个线性方程组，多维的也是一样，然后我们用n+1个点构出n个线性方程组就可以解出球心坐标了。

代码：

#include<cstdio>#include<cmath>#include<algorithm>using namespace std;const int maxn=15;const double eps=1e-10;double a[maxn][maxn],b[maxn],pos[maxn][maxn];int n;bool Gauss(){    double temp;    for(int i=1;i<=n;i++){        int maxx=i;        for(int j=i+1;j<=n;j++){            if(fabs(a[j][i])>fabs(a[maxx][i]))maxx=j;        }        if(fabs(temp=a[maxx][i])<eps)return false;        swap(a[i],a[maxx]);        swap(b[i],b[maxx]);        for(int j=i;j<=n;j++){            a[i][j]/=temp;        }        b[i]/=temp;        for(int j=1;j<=n;j++){            if(j!=i){                temp=a[j][i];                for(int k=i;k<=n;k++){                    a[j][k]-=a[i][k]*temp;                }                b[j]-=b[i]*temp;            }        }    }    return true;}int main(){    scanf("%d",&n);    for(int i=1;i<=n+1;i++){        for(int j=1;j<=n;j++){            scanf("%lf",&pos[i][j]);        }    }    for(int i=1;i<=n;i++){        for(int j=1;j<=n;j++){            b[i]+=(pos[i][j]*pos[i][j]-pos[i+1][j]*pos[i+1][j]);            a[i][j]=2*(pos[i][j]-pos[i+1][j]);        }    }    Gauss();    for(int i=1;i<n;i++){        printf("%.3lf ",b[i]);    }    printf("%.3lf",b[n]);    return 0;}