最短路 Floyd-Warshall算法 详细介绍

任意两点间的最短路问题(Floyd-Warshall算法)

在我们只使用顶点0-k和i，j的情况下，记i到j的最短路长度为d[k+1][i][j];

那么当k=-1时，就是一个顶点都不用，直接从i到j，那么d[0][i][j]=cost[i][j]；

接下来就可以把只使用顶点0-k的问题转化成只使用0-k-1顶点的问题上。

 

一共有2种情况，(1)不经过顶点k的情况：d[k][i][j]=d[k-1][i][j];

                           (2)通过顶点k的情况： d[k][i][j]=d[k-1][i][k]+d[k-1][k][j];

那么组合起来就是：d[k][i][j]=min(d[k-1][i][j],d[k-1][i][k]+d[k-1][k][j]);

/**********************************************************************************************************/

我们可以发现可以省掉一维d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);(滚粗数组)

那么问题来了，为什么可以省掉一维呢？

回想之前做0-1背包问题的时候，dp[i+1]][j]表示从0到i这i+1个物品中选出总重量不超过j的物品时

总价值的最大值。那么递推式可以表示为：

for(i=0;i<n;i++)

for(j=w;j>=w[i];j--)

if(j>w[i])      dp[i+1][j]=dp[i][j];（不能选第i个物品，因为其重量w[i]超过了j）

else            dp[i+1][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-w[i]]+v[i]);（可以选第i个）

这时dp[i+1][j]都是由dp[i][N]上一行数据推来的，而这时N<=j,改变的都是dp[i+1][j]而dp[i+1][N]没有变

所以当去掉一维dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i])时，当计算dp[j]的时候,dp[j-w[i]]=dp[i][j-w[i]],不影响结果。可以省掉一维

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看这道题，如果省掉一维，d[k][i][j]=min(d[k-1][i][j],d[k-1][i][k]+d[k-1][k][j]);

                                               d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j])

    当计算d[i][j]时， 这时d[i][k]不一定=d[k-1][i][k];而是=d[k][i][k]（可能之前已经算完了d[i][k]）;

    同理d[k][j]未必=d[k-1][k][j];

那为什么可以省掉一维呢？ 

 如果d[i][k]不等于d[k-1][i][k];    而是=d[k][i][k]  也就是等于=min(dp[k-1][i][k],dp[k-1][i][k]+dp[k-1][k][k]);        

 但是大家可以发现dp[k-1][k][k]=0;   所以dp[i][k]=min(dp[k-1][i][k],dp[k-1][i][k])=dp[k-1][i][k];不影响结果。                                      

int d[N][N]; //d[u][v]表示边e=(u,v)的权值(不存在时设为INF，但是d[i][i]=0)
int v; //顶点数
void warshall_Floyd(void)
{
     for(k=0;k<v;k++)
        for(i=0;i<v;i++)
            for(j=0;j<v;j++)
               d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);
}