2017.2.25【初中部 提高组】模拟赛B组 最短路径(path) 题解

原题：

http://172.16.0.132/senior/#contest/show/1929/2

题目描述：

平面内给出 n 个点，记横坐标最小的点为 A，最大的点为 B，现在Zxd想要知道在每个点经过一次（A 点两次）的情况下从 A 走到 B，再回到 A 的最短路径。但他是个强迫症患者，他有许多奇奇怪怪的要求与限制条件：
1. 从 A 走到 B 时，只能由横坐标小的点走到大的点。
2. 由 B 回到 A 时，只能由横坐标大的点走到小的点。
3. 有两个特殊点 b1 和 b2， b1 在 0 到 n-1 的路上，b2 在 n-1 到 0 的路上。
请你帮他解决这个问题助他治疗吧！

输入：

第一行三个整数 n,b1,b2,( 0 < b1，b2 < n-1 且 b1 <> b2)。n 表示点数，从 0 到 n-1 编号，b1 和 b2 为两个特殊点的编号。
以下 n 行，每行两个整数 x、y 表示该点的坐标(0 <= x，y <= 2000)，从 0 号点顺序
给出。Doctor Gao为了方便他的治疗，保证所有点横坐标不同，并且已经将给出的点按 x 增序排好了。

输出：

仅一行，输出最短路径长度（精确到小数点后面 2 位）

样例输入：

5 1 3
1 3
3 4
4 1
7 5
8 3

样例输出：

18.18

样例解释：

最短路径：0->1->4->3->2->0

数据范围限制：

20%的数据n<=20
60%的数据n<=300
100%的数据n<=1000
对于所有数据x,y,b1,b2如题目描述.

分析：

由于每个点要么在去的路上，要么在回来的路上，所以用二进制数表示N个点的状态，对于特殊的四个点特判一下，然后从所有状态中取最优的
期望得分：20分

考虑到每个点只能走一次，且从终点往回走和从起点再走一遍到终点没有区别，所以这道题可以转化为求两条不相交路径和的最小值。
于是考虑用动态规划求解。
用F[i][j]表示第一个点走到i,第二个点(回去的那个点)走到j的最优值。
为了保证更新时不会更新出F[i]i，而且每个点都会在路径上，我们每次用F[i][j]去更新点max(i,j)+1，所以转移方程为：
F[0][0]=0; k=max(i,j)+1，
F[k][j]=max(F[k][j],F[i][j]+Dis(i,k));
F[i][k]=max(F[i][k],F[i][j]+Dis(j,k));
Dis(i,j)为从i直接走到j点的距离.
对于两个特殊点和max(i,j)=N的情况特判处理即可。
期望得分：100

同时上面的DP也可以用记忆化搜索实现，对于abs(x-y)>1的情况，说明当前情况只能从max(x,y)-1转移过来，当abs(x-y)=1时，则能从1~min(x,y)中的任意一点转移过来，于是用记忆化搜索完成上面的步骤，加上适当剪枝即可。
期望得分：60~100分

实现：

#include<cmath> #include<cstdio>int n,b1,b2,i,j,k,a[1007][3];double b[1007][1007],f[1007][1007];double dis(int x1,int y1,int x2,int y2){    return sqrt((x1-x2)*(x1-x2)+(y1-y2)*(y1-y2));}double min(double x,double y){    return x<y?x:y;}int max(int x,int y){    return x>y?x:y;}int main(){    freopen("path.in","r",stdin);freopen("path.out","w",stdout);    scanf("%d%d%d",&n,&b1,&b2);    for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&a[i][1],&a[i][2]);    b1++;    b2++;    for(i=1;i<n;i++)        for(j=i+1;j<=n;j++) b[j][i]=b[i][j]=dis(a[i][1],a[i][2],a[j][1],a[j][2]);    for(i=1;i<=n;i++)        for(j=1;j<=n;j++) f[i][j]=1e12;    f[1][1]=0;    for(i=1;i<=n;i++)        for(j=1;j<=n;j++)            if(i!=j||i==1)            {                k=max(i,j)+1;                if(k==n+1)                {                    if(i!=n) f[n][n]=min(f[n][n],f[i][j]+b[i][n]);                    if(j!=n) f[n][n]=min(f[n][n],f[i][j]+b[j][n]);                    continue;                }                if(k!=b1) f[i][k]=min(f[i][k],f[i][j]+b[j][k]);                if(k!=b2) f[k][j]=min(f[k][j],f[i][j]+b[i][k]);            }    printf("%.2lf\n",f[n][n]);}