最小生成树

一，基本的定义：

在一给定的无向图G=(V,E)中，（u,v)代表连接顶点u与顶点v的边，而w(u,v)代表边的权重，若存在T为E的子集且为无循环图，使得的w(T)最小，则T为G的最小生成树（最小权重树）。

最小生成树可以用Krukal算法或Prime算法求出。

二，算法的描述：

prime算法简述

1）输入：一个加权连通图，其中顶点为v，边集合为E；

2）初始化：Vnew={x},其中x为集合V中的任意一节点，Enew={}为空；

3)重复下列操作，直到Vnew=V；

a，再集合E中选取权值最小的边<u,v>,其中u为集合Vnew中的元素，而不是在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条边满足当前描述条件即具有相同权值的边，则可任意选择其中之一）；

b，将v加入Vnew中，将<u,v>边加入集合Enew中；

4）输出：使用Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。

Krukal算法简述：

假设WN=(V,{E})是一个含有n个顶点的连通网，则按照克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程为：先构造一个只含n个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是个树上的根节点，则他是一个含有n棵树的一个森林。之后，从网的变集E中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，即将这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树，反之，若该条边的两个顶点已经落在一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试，直到森林中中有一棵树，也即子图中含有n-1条边为止。