【学术篇】网络流24题--飞行员配对方案问题
来源:互联网 发布:七天网络查分平台登陆 编辑:程序博客网 时间:2024/04/29 04:06
咳咳……
传送门:https://daniu.luogu.org/problem/show?pid=2756
这个题的基本模型:二分图最大匹配。。
我们可以将外籍飞行员放在左边,英国飞行员放在右边,能合作的两个飞行员之间连一条边,构出来的图就像这样~~
这样能派出的最大飞机数就是这个二分图的最大匹配……
最简单的算法是Hungary Algorithm(匈牙利算法)(并不是Hungry)
匈牙利算法比较简单,你们自己去搜一下,原理代码都很清楚。。
不过令我吐槽的是搜到的模板基本都是邻接矩阵写的,而我比较习惯数组模拟的邻接表 _ (:з」∠) _
然后下面是代码(时间复杂度:O(N^2*M))
#include <cstdio>#include <cstring> #define gc getchar()#define cl(a,b) memset(a,b,sizeof(a))const int N=505;struct edge{ int to,next;}e[N*N+15]; int v[N],tot=1;int c[N],match[N];bool vis[N];int n,m;inline int gnum(){ int a=0;char c=gc;bool f=0; for(;(c<'0'||c>'9')&&c!='-';c=gc); if(c=='-') f=1,c=gc; for(;c>='0'&&c<='9';c=gc) a=(a<<1)+(a<<3)+c-'0'; if(f) return -a; return a;}void build(int x,int y){ e[++tot].to=y; e[tot].next=v[x]; v[x]=tot;}bool dfs(int x){ for(int i=v[x];i;i=e[i].next){ int y=e[i].to; if(vis[y]==0){ vis[y]=1; if(match[y]<0||dfs(match[y])){ c[x]=y; match[y]=x; return 1; } } } return 0;}int hungary(){ int ans=0; for(int i=1;i<=m;i++) if(c[i]<0) cl(vis,0),ans+=dfs(i); return ans;}int main(){ n=gnum(),m=gnum(); cl(match,-1); cl(c,-1); do{ int u=gnum(),v=gnum(); if(u==-1) break; build(u,v); }while(1); int ans=hungary(); if(!ans){ puts("No Solution!"); return 0; } printf("%d\n",ans); for(int i=1;i<=m;i++) //输出方案.. if(~c[i]) printf("%d %d\n",i,c[i]);}
不过,二分图上还N^2*M的算法怎能忍受..
所以,两位歪果大神YY出了一种O(N^0.5*M)的算法..
他们一个人叫John E. Hopcroft,另一个叫Richard M. Karp,所以这个算法叫Hopcroft-Karp算法..
这个算法网上讲的也不少,但模板似乎竟然还有假的..(比如这题样例都会找错)
还有神犇想要具体研究这个算法可以去看原始论文 其实是可以下到的~~
论文你们可以去http://download.csdn.net/detail/shoulea/5659515 下嘛..
代码:
#include <queue>#include <cstdio>#include <cstring>using std::queue;#define gc getchar()#define cl(a,b) memset(a,b,sizeof(a))const int N=505;const int INF=~0U>>1;int cx[N],cy[N],dx[N],dy[N];bool vis[N];int n,m,dis;struct Node{ int to,next;}e[N*N+15]; int v[N],tot=1;inline int gnum(){ int a=0;char c=gc;bool f=0; for(;(c<'0'||c>'9')&&c!='-';c=gc); if(c=='-') f=1,c=gc; for(;c>='0'&&c<='9';c=gc) a=(a<<1)+(a<<3)+c-'0'; if(f) return -a; return a;}inline void build(int x,int y){ e[++tot].to=y; e[tot].next=v[x]; v[x]=tot;}bool bfs(){ cl(dx,-1); cl(dy,-1); queue<int> q; dis=INF; for(int i=1;i<=m;i++) if(cx[i]<0) q.push(i),dx[i]=0; while(!q.empty()){ int x=q.front(); q.pop(); if(dx[x]>dis) break; for(int i=v[x];i;i=e[i].next){ int y=e[i].to; if(dy[y]<0){ dy[y]=dx[x]+1; if(cy[y]<0) dis=dy[y]; else dx[cy[y]]=dy[y]+1,q.push(cy[y]); } } } return dis!=INF;}bool dfs(int x){ for(int i=v[x];i;i=e[i].next){ int y=e[i].to; if(!vis[y]&&dy[y]==dx[x]+1){ vis[y]=1; if(cy[y]!=-1&&dy[y]==dis) continue; if(cy[y]==-1||dfs(cy[y])){ cx[x]=y; cy[y]=x; return 1; } } } return 0;}int hopcroft_karp(){ int ans=0; cl(cx,-1); cl(cy,-1); while(bfs()){ cl(vis,0); for(int i=1;i<=m;i++) if(cx[i]<0&&dfs(i)) ans++; } return ans;}int main(){ n=gnum(); m=gnum(); do{ int u=gnum(),v=gnum(); if(u==-1) break; build(u,v); }while(1); int ans=hopcroft_karp(); if(!ans){ puts("No Solution!"); return 0; } printf("%d\n",ans); for(int i=1;i<=m;i++) if(~cx[i])printf("%d %d\n",i,cx[i]);}
这样就结束了吗?并不是的,这题还有更一般的做法——网络流。。 不然干嘛要归到网络流24题里啊
我们搞出一个源点S和汇点T,将所有外籍飞行员与S连边,将所有英国飞行员与T连边,
我们再看:
这就是一个网络流图了。。
因为是二分图,我们不妨跑dinic(其实还是O(N^0.5*M))
不过拥有更好的普适性而且还能直接复制粘贴板子
代码:
#include <queue>#include <cstdio>#include <cstring>using std::queue;using std::min;#define gc getchar()#define cl(a,b) memset(a,b,sizeof(a))const int MAXV=202;const int MAXE=40404;const int INF=~0U>>1;struct edge{ int to,next,data;}e[MAXE]; int v[MAXV],tot=1;int d[MAXV];int cur[MAXV];int s,t;inline int gnum(){ int a=0; char c=gc; bool f=0; for(;(c<'0'||c>'9')&&c!='-';c=gc); if(c=='-') f=1,c=gc; for(;c>='0'&&c<='9';c=gc) a=(a<<1)+(a<<3)+c-'0'; if(f) return -a; return a;}void build(int x,int y,int z){ e[++tot].to=y; e[tot].next=v[x]; e[tot].data=z; v[x]=tot; e[++tot].to=x; e[tot].next=v[y]; e[tot].data=0; v[y]=tot;}bool bfs(){ cl(d,-1); d[s]=0; for(int i=s;i<=t;i++) cur[i]=v[i]; queue<int> q; q.push(s); while(!q.empty()){ int x=q.front(); q.pop(); for(int i=v[x];i;i=e[i].next) if(e[i].data&&d[e[i].to]<0) d[e[i].to]=d[x]+1,q.push(e[i].to); } return d[t]>0;}int dfs(int x,int mx){ if(!mx||x==t) return mx; int k,s=0; for(int i=cur[x];i;i=e[i].next){ cur[x]=i; if(d[e[i].to]==d[x]+1&&(k=dfs(e[i].to,min(mx,e[i].data)))){ s+=k; mx-=k; e[i].data-=k; e[i^1].data+=k; if(!mx) break; } } return s;}int dinic(){ int ans=0; while(bfs()) ans+=dfs(s,INF); return ans;}void findpath(int m){ for(int x=1;x<=m;x++) for(int i=v[x];i;i=e[i].next) if(!(i&1)&&!e[i].data) printf("%d %d\n",x,e[i].to); }int main(){ int m=gnum(),n=gnum(),ans; s=0,t=n+1; for(int i=1;i<=m;i++) build(s,i,1); for(int i=m+1;i<=n;i++) build(i,t,1); do{ int u=gnum(),v=gnum(); if(u==-1) break; build(u,v,1); }while(1); ans=dinic(); if(!ans) puts("No Solution!"); else printf("%d\n",ans),findpath(m);}
最后的最后,我要告诉大家一个秘密^o^:
这题没有No Solutiontion的情况~~ 我会说我已经用两种代码A完才看见无解要输出No Solution嘛
The End..
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