矩阵连乘 (动态规划)

动态规划法

题目描述：给定n个矩阵{A1,A2....An}，其中Ai与Ai+1是可以相乘的，判断这n个矩阵通过加括号的方式相乘，使得相乘的次数最少!

以矩阵链ABCD为例

按照矩阵链长度递增计算最优值

矩阵链长度为1时，分别计算出矩阵链A、B、C、D的最优值

矩阵链长度为2时，分别计算出矩阵链AB、BC、CD的最优值

矩阵链长度为3时，分别计算出矩阵链ABC、BCD的最优值

矩阵链长度为4时，计算出矩阵链ABCD的最优值

动归方程：

分析:

k为矩阵链断开的位置

d数组存放矩阵链计算的最优值，d[i][j]是以第i个矩阵为首，第j个矩阵为尾的矩阵链的最优值，i > 0

m数组内存放矩阵链的行列信息，m[i-1]和m[i]分别为第i个矩阵的行和列（i = 1、2、3...）

c语言实现代码：

#include <stdio.h>

#define N 20void MatrixChain(int p[N],int n,int m[N][N],int s[N][N]){int i,j,t,k;int r;//记录相乘的矩阵个数变量for(i=1;i<=n;i++){m[i][i]=0;//当一个矩阵相乘时，相乘次数为 0 } //矩阵个数从两个开始一次递增 for(r=2;r<=n;r++){//从某个矩阵开始 for(i=1;i<=n-r+1;i++){//到某个矩阵的结束 j=i+r-1;//拿到从 i 到 j 矩阵连乘的次数 m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];//拿到矩阵连乘断开的位置 s[i][j]=i;//寻找加括号不同，矩阵连乘次数的最小值，修改 m 数组，和断开的位置 s 数组 for(k=i+1;k<j;k++){t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];if(t<m[i][j]){m[i][j]=t;s[i][j]=k;}}}} }int main(void){int n,n1,m1,i,j=2;int p[N]={0};//存储矩阵的行和列数组 int m[N][N]={0};//存储矩阵与矩阵相乘的最小次数int s[N][N]={0};//存储矩阵与矩阵相乘断开的位置 printf("请输入矩阵个数:\n");scanf("%d",&n);for(i=1;i<=n;i++){printf("请输入第%d个矩阵的行和列(n1*m1 格式):",i);scanf("%d*%d",&n1,&m1);if(i==1){p[0]=n1;p[1]=m1;}else{p[j++]=m1;}}printf("\n记录矩阵行和列:\n");for(i=0;i<=n;i++){printf("%d ",p[i]);}printf("\n");MatrixChain(p,n,m,s);printf("\n矩阵相乘的最小次数矩阵为:\n");for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++){printf("%d    ",m[i][j]);}printf("\n");}printf("\n矩阵相乘断开的位置矩阵为:\n");for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++){printf("%d ",s[i][j]);}printf("\n");}printf("矩阵最小相乘次数为:%d\n",m[1][n]);return 0;}