算法第二周： Divide and Conquer-分治算法

分治算法基本思想：将问题分解为k个子问题，每个子问题相互独立且与原问题性质相同，求得子问题的解即可求得原问题的解。若子问题还较难以解决，就递归的分解子问题，直到可以找到简单的求解方法。

53. Maximum Subarray

    Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.For example, given the array [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],the contiguous subarray [4,-1,2,1] has the largest sum = 6.

题目描述：寻找数组中值最大的子串和。

既然题目不要求输出子串含有的元素而是只需要和，那么首先可以想到直接遍历数组。

class Solution{public:    int maxSubArray(vector<int>& nums) {        int maximum=nums[0],maxEnd=nums[0];         for(int i=1;i<nums.size();i++)        {            if((maxEnd+nums[i])>nums[i])//maxEnd记录当前最大值                maxEnd=maxEnd+nums[i];            else                maxEnd=nums[i];            if(maximum<maxEnd)                maximum=maxEnd;//maximum记录最终最大值        }        return maximum ;    }};

但题目要求的是用分治法，那么就需要将数组分割并在字串中找到最大值再合并得到结果。
将nums分为两个子串，并递归求出两个子串中最大的子串和，记为left和right，同时要注意再合并时最大值可能会出现在两子串交界处，所以还要加一个middle值来记录出现在中间的最大和，最后在三者间选最大值为结果。

class Solution {public:    int dive(int A[], int l, int r)     {          if (l == r)            return A[l];          int m = (l + r) / 2;          int left = dive(A, l, m);          int right = dive(A, m + 1, r);          int middle = A[m];          for (int i = m - 1, tmp = middle; i >= l; i--)          {                tmp += A[i];                middle = max(middle, tmp);          }          for (int i = m + 1, tmp = middle; i <= r; i++)          {                tmp += A[i];                middle = max(middle, tmp);          }      return max(middle, max(left, right));    }    int maxSubArray(int A[], int n)     {      return dive(A, 0, n - 1);    }   };

169. Majority Element

 Given an array of size n, find the majority element. The majority element is the element that appears more than ⌊ n/2 ⌋ times. You may assume that the array is non-empty and the majority element always exist in the array.

目标：找到出现次数超过⌊ n/2 ⌋的元素。

递归的将数组分为两半，找到左半子串出现次数达到字串元素个数一般的元素lm找到右半子串出现次数达到字串元素个数一般的元素rm，再比较lm和rm那个出现次数多，取出现次数多的那个元素。

class Solution {public:    int majorityElement(vector<int>& nums) {        return findMajority(nums,0,nums.size()-1);    }private:    int findMajority(vector<int>& nums,int left,int right)    {        if(left==right) return nums[left];        int mid=left+(right-left)/2;        int lm=findMajority(nums,left,mid);        int rm=findMajority(nums,mid+1,right);        if(lm==rm) return lm;        int numl=0,numr=0;        for(int i=left;i<right+1;i++)        {            if(nums[i]==lm)                numl++;              else if(nums[i]==rm)                  numr++;        }        if(numl>numr)            return lm;        else            return rm;    }};

241. Different Ways to Add Parentheses

Given a string of numbers and operators, return all possible results from computing all the different possible ways to group numbers and operators. The valid operators are +, - and *.

目标：输入一个算式，返回其再所有不同括号组成可能下的取值。

遍历算式，其中每个“+”“-”“*”都是拆分点，将式子递归拆分下去，直到出现最简单的算式，将计算得到的值层层返回，得到答案。遍历之后得到所有不同拆分顺序下的答案。

class Solution {public:    vector<int> diffWaysToCompute(string input) {        vector<int> result;        int size = input.size();        for (int i = 0; i < size; i++) {            char cur = input[i];            if (cur == '+' || cur == '-' || cur == '*') {                vector<int> result1 = diffWaysToCompute(input.substr(0, i));                vector<int> result2 = diffWaysToCompute(input.substr(i+1));                for(int j=0;j<result1.size();j++)                        for(int k=0;k<result2.size();k++)                {                     int n1=result1[j];                     int n2=result2[k];                        if (cur == '+')                            result.push_back(n1 + n2);                        else if (cur == '-')                            result.push_back(n1 - n2);                        else                            result.push_back(n1 * n2);                    }            }        }        if (result.empty())            result.push_back(atoi(input.c_str()));        return result;    }};