分治算法（divide and conquer）

0） 引论

正如名字divide and conquer所言，分治算法分为两步，一步是divide，一步是conquer。

Divide：Smaller Problems are solved recursively except base cases.

Conquer：The solution to the original problem is then formed from the solutions to the sub-problem.

说白了，分治算法就是把一个大的问题分为若干个子问题，然后在子问题继续向下分，一直到base cases，通过base cases的解决，一步步向上，最终解决最初的大问题。分治算法是递归的典型应用。

常见的利用分治算法思想的有快速排序以及合并排序等等。

1） 分治排序的运行时间问题

这里写下这个结论只是为了后面分析时间问题的方便。

2） 最近点问题

假设在坐标平面上分布了一系列的点，那么问题是求取这些点两两之间的最短距离。

最naive的做法当然是穷举法，计算所有的两两点间的距离，然后取最小值。穷举法对于小样本总是不错的。但是对于大样本来说，就不是那么合适了，这里我们用divide-and-conquer算法来解决这一问题。

首先对于所有的点，按照x坐标将其分为两部分，这就是divide，那么最短距离就是左边部分中的最短距离Dl，右边部分的最短距离Dr，以及左右部分之间的距离Dc。对于Dl以及Dr，可以递归的计算得到，这就是conquer。那么唯一的问题就是Dc。我们知道如果最短距离是Dc的话，那么Dc<=min（Dl，Dr）。因此我们只需要计算距离divide分割线S = min（Dl，Dr）的点就可以了。进一步我们可以看到对于每个在2S区域内的点，只需要计算y坐标距离这一点不大于S的点就可以，这样可以进一步简化运算量。

for(i=0;i<NumPointsInStrip;i++)for(j=i+1;j<NumPointsInStrip;j++)if(Pi and Pj coordinates differ by more than S)break;elseif(Dist(Pi,Pj)<S)S = Dist(Pi,Pj);