KMP算法

 

KMP与最小覆盖子串

 

最小覆盖子串：对于某个字符串s，它的最小覆盖子串指的是长度最小的子串p，p满足通过自身的多次连接得到q，最后能够使s成为q的子串。

比如：

对于s="abcab"，它的最小覆盖子串p="abc"，因为p通过在它后面再接上一个p（即重叠0个字符），可以得到q="abcabc"，此时s是q的子串。

对于s="ababab"，它的最小覆盖子串为p="ab"。

根据KMP算法的next数组的定义，设字符串s的长度为n，则next[n] = next[n - 1]，n-1为s的最后一位。

next[n]表明s[0,1,2,...,next[n]-1] == s[n-next[n],...,n-1]，设这两段分别为s1和s2。

若s1和s2的长度之和小于s的长度，则说明s1和s2分别为不重叠的前缀和后缀，则最小覆盖子串必为s截去s2之后得到的前缀。

若s1和s2的长度之和大于等于s的长度，则最小覆盖子串也必为s截去s2之后得到的前缀。

以上两种情况都可以推出这个结论：最小覆盖子串是s的前缀，它的长度为n-next[n]。

 

         我对KMP的一些理解（lyp点拨的）：pre[i]（或next[i]）的实质是串str[1..i]的最长且小于i的“相等前、后缀”分别为str[1..pre[i]]（前缀）与str[(i-pre[i]+1)..i]（后缀），通俗讲就是：使str[1..i]前k个字母与后k个字母相等的最大k值。

KMP算法详解可见：http://blog.csdn.net/fjsd155/article/details/6864233

另外一个结论：

最小覆盖子串（串尾多一小段时，用前缀覆盖）长度为n-next[n]（n-pre[n]），n为串长。

证明分两部分：

１－长为n-next[n]的前缀必为覆盖子串。

当next[n]<n-next[n]时，如图a，长为next[n]的前缀A与长为next[n]的后缀B相等，故长为n-next[n]的前缀C必覆盖后缀B；

当next[n]>n-next[n]时，如图b，将原串X向后移n-next[n]个单位得到Y串，根据next的定义，知长为next[n]的后缀串A与长为前缀串B相等，X串中的长为n-next[n]的前缀C与Y串中的前缀D相等，而X串中的串E又与Y串中的D相等……可见X串中的长为n-next[n]的前缀C可覆盖全串。

２－长为n-next[n]的前缀是最短的。

如图c，串A是长为n-next[n]的前缀，串B是长为next[n]的后缀，假设存在长度小于n-next[n]的前缀C能覆盖全串，则将原串X截去前面一段C，得到新串Ｙ，则Ｙ必与原串长度大于next[n]的前缀相等，与next数组的定义（使str[1..i]前k个字母与后k个字母相等的最大k值。）矛盾。得证！有人问，为什么Ｙ与原串长大于next[n]的前缀相等？由假设知原串的构成必为CCC……E（E为C的前缀），串Ｙ的构成必为CC……E（比原串少一个Ｃ），懂了吧！

 

最后得出结论：总长度-next[n].

 code：

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