洛谷P3636 曲面

链接

　　https://www.luogu.org/problem/show?pid=3636

题解

　　题目大意：对于所有k∈[1,N]，求满足xyz=k的整数x,y,z的(|x|+|y|+|z|)2之和。
　　看起来很麻烦，我用了很多种方法都不行，最后还是找对了路子。首先如果我们枚举k的话会很慢，所以条件可以改成：xyz≤N，求这样的(x,y,z)的(|x|+|y|+|z|)2之和。忘了加一句，答案应该是对第一卦限(x>0,y>0,z>0)做完之后的结果乘以4。
　　

ans=4×∑x=1N∑y=1⌊Nx⌋∑z=1⌊Nxy⌋(x+y+z)2

　　呃似乎很慢…可以看到对于给定的x和y，后面的∑⌊Nxy⌋z=1(x+y+z)2就是(x+y+1)2+(x+y+2)2+...+(x+y+⌊Nxy⌋)2，这个就是平方和的连续一段，直接用平方和公式。设f(n)=n(n+1)(2n+1)6，则答案
　　

ans=4×∑x=1N∑y=1⌊Nx⌋[f(x+y+⌊Nxy⌋)−f(x+y)]

　　这样是O(N1+N2+N3+...+NN)=O(NlogN)的。可以过60分，到这里我就卡住了，不会优化…打完T3的暴力之后又回来看，我换了一种思路。
　　如果令x<y<z，那么结合xyz≤N的条件，可以得到x<N−−√3，咦这似乎可以降复杂度，于是继续写，得到当x<y<z时
　　

ans1=∑x<N√3∑y<Nx[f(x+y+⌊Nxy⌋)−f(x+y+y)]

　　(这里的f(x+y+y)写成f(x+y+(y+1)−1)可能好理解些)
　　那么这个肯定是O(N−−√3logN−−√3)的。
　　上面是三个数字互不相同，在考虑有两个相同并且和第三个不同的，即x=y≠z
　　

ans2=∑x<N√[f(x+x+⌊Nx2⌋)−f(x+x)]−(x+x+x)2[if(x3≤N)]

　　最后考虑x=y=z的
　　

ans3=∑x=1N√3(x+x+x)2

　　然后

ans=4×(6ans1+3ans2+ans3)

　　总的时间复杂度是O(N−−√)。
　　听说正解是杜教筛啥的，好厉害的样子…我不会

代码

#include <cstdio>#include <algorithm>#define mod 10007ll#define lim 100000000000000000ll#define ll long longusing namespace std;ll inv[100];inline ll f(ll n){return n*(n+1)%mod*(2*n+1)*inv[6]%mod;}inline ll sqr(ll x){return x*x;}inline ll pow(ll a, ll b){    ll ans, t;    for(ans=1,t=a;b;b>>=1,t=t*t%mod)if(b&1)ans=ans*t%mod;    return ans;}void init(){    ll i;    for(i=1;i<=10;i++)inv[i]=pow(i,mod-2)%mod;}ll work(ll N){    ll x, y, ans=0, t;    //x<y<z    t=0;    for(x=1;x*x*x<N;x++)    {        for(y=x+1;y<N/x/y;y++)        {            t+=f(x+y+(N/x/y))-f(x+y+y);            if(t>lim)t%=mod;        }    }    ans+=t*6%mod;    //x=y!=z    t=0;    for(x=1;x*x<=N;x++)    {        t=t+f(x+x+N/x/x)-f(x+x);        if(x*x*x<=N)t=t-sqr(x+x+x);        if(t>lim)t%=mod;    }    ans+=t*3%mod;    //x=y=z    t=0;    for(x=1;x*x*x<=N;x++)    {        t+=sqr(x+x+x);        if(t>lim)t%=mod;    }    ans+=t%mod;    return ans%mod;}int main(){    ll a, b, ans;    scanf("%lld%lld",&a,&b);    init();    if(a>b){printf("0");return 0;}    ans=work(b)-work(a-1);    printf("%lld",(ans*4%mod+mod)%mod);    return 0;}