最长上升子数列

  1 LIS什么是最长递增子序列呢?  2 问题描述如下:  3   设L=<a1,a2,…,an>是n个不同的实数的序列，L的递增子序列是这样一个子序列Lin=<aK1,ak2,…,akm>，  4  其中k1<k2<…<km且aK1<ak2<…<akm。求最大的m值。  5 对于这个问题有以下几种解决思路:  6    1、把a1,a2,...,an排序，假设得到a'1,a'2,...,a'n，然后求a的a'的最长公共子串，这样总的时间复杂度为o(nlg(n))+o(n^2)=o(n^2);  7    2、动态规划的思路：  8     另设一辅助数组b,定义b[n]表示以a[n]结尾的最长递增子序列的长度，则状态转移方程如下：  9     b[k]=max(max(b[j]|a[j]<a[k],j<k)+1,1); 10     这个状态转移方程解释如下：在a[k]前面找到满足a[j]<a[k]的最大b[j],然后把a[k]接在它的后面， 11         可得到a[k]的最长递增子序列的长度，或者a[k]前面没有比它小的a[j]，那么这时a[k]自成一序列， 12         长度为1.最后整个数列的最长递增子序列即为max(b[k]   | 0<=k<=n-1); 13     实现代码如下: 14      15 #include <iostream> 16 using namespace std; 17 int main() 18 { 19        int i,j,n,a[100],b[100],max; 20        while(cin>>n) 21        { 22               for(i=0;i<n;i++) 23                      cin>>a[i]; 24               b[0]=1;//初始化，以a[0]结尾的最长递增子序列长度为1 25               for(i=1;i<n;i++) 26               { 27                      b[i]=1;//b[i]最小值为1 28                      for(j=0;j<i;j++) 29                             if(a[i]>a[j]&&b[j]+1>b[i]) 30                                    b[i]=b[j]+1; 31               } 32               for(max=i=0;i<n;i++)//求出整个数列的最长递增子序列的长度 33                      if(b[i]>max) 34                             max=b[i]; 35               cout<<max<<endl; 36        } 37        return 0; 38 } 39 显然，这种方法的时间复杂度仍为o(n^2); 40 3.对第二种思路的改进： 41 第二种思路在状态转移时的复杂度为o(n),即在找a[k]前面满足a[j]<a[k]的最大b[j]时采用的是顺序查找的方法，复杂度为o(n). 42 设想如果能把顺序查找改为折半查找，则状态转移时的复杂度为o(lg(n)),这个问题的总的复杂度就可以降到nlg(n). 43 另定义一数组c,c中元素满足c[b[k]]=a[k],解释一下，即当递增子序列的长度为b[k]时子序列的末尾元素为c[b[k]]=a[k]. 44 先给出这种思路的代码，然后再对其做出解释。 45      46 #include <iostream> 47 using namespace std; 48 int find(int *a,int len,int n)//若返回值为x,则a[x]>=n>a[x-1]//假设最大长度为n+1，所以按照长度二分，再和a[i]来比较，用法巧妙 49 { 50        int left=0,right=len,mid=(left+right)/2; 51        while(left<=right) 52        { 53               if(n>a[mid]) left=mid+1; 54               else if(n<a[mid]) right=mid-1; 55               else return mid;//长度已经存在 56               mid=(left+right)/2; 57        } 58        return left; 59 } 60 void fill(int *a,int n) 61 { 62        for(int i=0;i<=n;i++) 63               a[i]=1000; 64 } 65 int main() 66 { 67        int max,i,j,n,a[100],b[100],c[100]; 68        while(cin>>n) 69        { 70               fill(c,n+1); 71               for(i=0;i<n;i++) 72                      cin>>a[i]; 73               c[0]=-1;//    …………………………………………1 74               c[1]=a[0];//        ……………………………………2 75               b[0]=1;//     …………………………………………3 76               for(i=1;i<n;i++)//        ………………………………4 77               { 78                      j=find(c,n+1,a[i]);//   ……………………5//j相当于b[k] 79                      c[j]=a[i];// ………………………………6//c[b[k]]=a[k];//j的大小决定了a[i]在c[]中的位置，所以c【】是递增的，可以用二分 80                      b[i]=j;//……………………………………7 81               } 82               for(max=i=0;i<n;i++)//………………………………8 83                      if(b[i]>max) 84                             max=b[i]; 85               cout<<max<<endl; 86        } 87        return 0; 88 } 89     对于这段程序，我们可以用算法导论上的loop invariants来帮助理解. 90     loop invariant: 1、每次循环结束后c都是单调递增的。(这一性质决定了可以用二分查找） 91                            2、每次循环后，c[i]总是保存长度为i的递增子序列的最末的元素，若长度为i的递增子序 92                                   列有多个，刚保存末尾元素最小的那个.（这一性质决定是第3条性质成立的前提） 93                            3、每次循环完后，b[i]总是保存以a[i]结尾的最长递增子序列。 94     initialization:    1、进入循环之前，c[0]=-1,c[1]=a[0],c的其他元素均为1000,c是单调递增的; 95                            2、进入循环之前，c[1]=a[0],保存了长度为1时的递增序列的最末的元素，且此时长度为1 96                                  的递增了序列只有一个，c[1]也是最小的; 97                            3、进入循环之前，b[0]=1，此时以a[0]结尾的最长递增子序列的长度为1. 98     maintenance:   1、若在第n次循环之前c是单调递增的，则第n次循环时，c的值只在第6行发生变化，而由 99                                 c进入循环前单调递增及find函数的性质可知（见find的注释),100                                  此时c[j+1]>c[j]>=a[i]>c[j-1],所以把c[j]的值更新为a[i]后，c[j+1]>c[j]>c[j-1]的性质仍然成101                                 立，即c仍然是单调递增的；102                            2、循环中，c的值只在第6行发生变化，由c[j]>=a[i]可知，c[j]更新为a[i]后，c[j]的值只会变103                                   小不会变大，因为进入循环前c[j]的值是最小的，则循环中把c[j]更新为更小的a[i]，当104                                  然此时c[j]的值仍是最小的;105                            3、循环中，b[i]的值在第7行发生了变化，因为有loop invariant的性质2，find函数返回值106                                 为j有：c[j-1]<a[i]<=c[j],这说明c[j-1]是小于a[i]的，且以c[j-1]结尾的递增子序列有最大的107                                长度，即为j-1,把a[i]接在c[j-1]后可得到以a[i]结尾的最长递增子序列，长度为(j-1)+1=j;108     termination:       循环完后，i=n-1,b[0],b[1],...,b[n-1]的值均已求出，即以a[0],a[1],...,a[n-1]结尾的最长递109                               增子序列的长度均已求出，再通过第8行的循环，即求出了整个数组的最长递增子序列。110           仔细分析上面的代码可以发现，每次循环结束后，假设已经求出c[1],c[2],c[3],...,c[len]的值，111           则此时最长递增子序列的长度为len,因此可以把上面的代码更加简化，即可以不需要数组b来辅助存储，第8行的循环也可以省略。112     */113 /*#include <iostream>114 using namespace std;115 int find(int *a,int len,int n)//修改后的二分查找，若返回值为x，则a[x]>=n116 {117        int left=0,right=len,mid=(left+right)/2;118        while(left<=right)119        {120               if(n>a[mid]) left=mid+1;121               else if(n<a[mid]) right=mid-1;122               else return mid;123               mid=(left+right)/2;124        }125        return left;126 }127 int main()128 {129        int n,a[100],c[100],i,j,len,b[100];//新开一变量len,用来储存每次循环结束后c中已经求出值的元素的最大下标130        while(cin>>n)131        {132               for(i=0;i<n;i++)133                      cin>>a[i];134               b[0]=1;135               c[0]=-1;136               c[1]=a[0];137               len=1;//此时只有c[1]求出来，最长递增子序列的长度为1.138               for(i=1;i<n;i++)139               {140                      j=find(c,len,a[i]);141                      c[j]=a[i];142                      if(j>len)//要更新len,另外补充一点：由二分查找可知j只可能比len大1143                             len=j;//更新len144               }145               cout<<len<<endl;146        }147        return 0;148 }*/