jzoj 5000. 【NOI2017模拟3.4】保镖 hall定理+搜索

题意

现在有一副若干条边的二分图，左边有n个点 ，右边有m个点 ，左边每个点有权值w[i]，右边每个有权值v[i] 。一个图的子图定义为他端点的子集。一个合法的子图满足以下两个条件：
选出的点权和大于等于限制t
并且可以从图中选出若干条边，使得二分图中每个点最多被一条边覆盖，而选出的点要恰好被一条边覆盖。
求总共有多少合法的子图。
n,m<=20,w[i],v[i]<=108,t<=4∗108

题解

比赛的时候用meet in the middle加上搜索水了60分。其实在比赛的时候想到的离正解已经不远了，只是有一些细节没想到和因为不会证明而没有去打。
复制一波题解：
假如选出来的只有一边，那么可以直接用 hall 定理判断是否合法。但是现在选出了两
边的点，那么可以对这两边的点分别用 hall 定理判断是否合法，这是满足题目要求的必要
条件。接下来尝试证明一下这也是满足题目要求的充分条件。首先可以先把任意一组满足左
边选出子集合法的边加入。然后依次加入右边子集中的点 以及满足右边子集合法的连接
和 的边，称 是 的匹配点(加入一个点，加入一个连接它的边)。现在有三种情况：
第一种：如果 被之前加入的边覆盖，那么就丌用加边也合法。否则加入这条边，有下
面的这些情况。
第二种： 丌属于选出的子集，那么连边肯定合法。
第三种： 属于选出的子集。考虑保留当前加入的边，并删除原先覆盖 的边，设这条
边覆盖的另一个点是 。假如 丌属于选出的子集戒这是还未加入的点，肯定合法。假如
是已经加入的点，由于它匹配点肯定丌是 (因为这是 的匹配点)，所以重新加入 以及覆
盖它和它匹配点的边即可。丌难发现对于 的这种情况对于每个点最多只会出现一次。
对于所有情况，都可以满足选出子集的合法性，所以选出左边的子集和右边的子集分别
满足 hall 是满足题目要求的充分条件。我们可以分别对左边和右边的点判断是否满足 hall
定理，然后就用meet in the middle统计一下方案数即可。

顺带提一波，hall定理就是若一个二分图有最大匹配，那么其充分必要条件就是左边每一个大小为k的点集必然与右边至少k个点相连。
然后判断一个子集是否满足hall定理可以用状压然后枚举其每一个子集判断是否合法，最后再判断自己是否合法即可。

代码

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<algorithm>#define N 45#define M 1048580#define LL long longusing namespace std;int n,m,map[N][N],v[N],w[N],a1,b1,a[M],b[M],bin[N],vis[N],lim;char ch[N];bool f[M];void dfs1(int x,int sum,int now,int size,int num){    if (x>n) return;    dfs1(x+1,sum,now,size,num);    int p=now|bin[x-1],q=p,flag=0;    while (q)    {        int l=q&(-q);        if (!f[p-l])        {            flag=1;break;        }        q-=l;    }    for (int i=1;i<=m;i++)        if (map[x][i]&&!vis[i]) num++;    if (!flag&&num>size)    {        for (int i=1;i<=m;i++) if (map[x][i]) vis[i]++;        a[++a1]=min(sum+w[x],lim);f[p]=1;        dfs1(x+1,min(sum+w[x],lim),p,size+1,num);        for (int i=1;i<=m;i++)            if (map[x][i]) vis[i]--;    }}void dfs2(int x,int sum,int now,int size,int num){    if (x>m) return;    dfs2(x+1,sum,now,size,num);    int p=now|bin[x-1],q=p,flag=0;    while (q)    {        int l=q&(-q);        if (!f[p-l])        {            flag=1;break;        }        q-=l;    }    for (int i=1;i<=n;i++)        if (map[i][x]&&!vis[i]) num++;    if (!flag&&num>size)    {        for (int i=1;i<=n;i++) if (map[i][x]) vis[i]++;        b[++b1]=min(sum+v[x],lim);f[p]=1;        dfs2(x+1,min(sum+v[x],lim),p,size+1,num);        for (int i=1;i<=n;i++)            if (map[i][x]) vis[i]--;    }}void solve(){    sort(a+1,a+a1+1);sort(b+1,b+b1+1);    int p1=1,p2=b1+1;LL ans=0;    while (p1<=a1)    {        while (b[p2-1]+a[p1]>=lim&&p2>1) p2--;        ans+=b1-p2+1;        p1++;    }    printf("%lld",ans);}int main(){    freopen("guard.in","r",stdin);freopen("guard.out","w",stdout);    bin[0]=1;    for (int i=1;i<=20;i++) bin[i]=bin[i-1]*2;    scanf("%d%d",&n,&m);    for (int i=1;i<=n;i++)    {        scanf("%s",ch+1);        for (int j=1;j<=m;j++) if (ch[j]=='1') map[i][j]=1;    }    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]);    for (int i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&v[i]);    scanf("%d",&lim);    f[0]=1;a1=b1=1;    dfs1(1,0,0,0,0);    memset(f,0,sizeof(f));    f[0]=1;    dfs2(1,0,0,0,0);    solve();    return 0;}