n皇后问题
来源：互联网 发布：有哪些句子知乎 编辑：程序博客网 时间：2024/06/05 10:36
/* Name: n皇后问题 Copyright: Author: 巧若拙 Date: 07-03-17 09:09 Description: 一、问题描述：在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。n后问题等价于再n×n的棋盘上放置n个皇后，任何2个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上。输入： 给定棋盘的大小n (n ≤ 13)输出： 输出有多少种放置方法。二、解题思路：要解决N皇后问题，其实就是要解决好怎么放置这n个皇后，每一个皇后与前面的所有皇后不能在同一行、同一列、同一对角线，在这里我们可以以行优先，就是说皇后的行号按顺序递增，只考虑第i个皇后放置在第i行的哪一列，所以在放置第i个皇后的时候，可以从第1列判断起，如果可以放置在第1个位置，则跳到下一行放置下一个皇后。如果不能，则跳到下一列...直到最后一列，如果最后一列也不能放置，则说明此时放置方法出错，则回到上一个皇后向之前放置的下一列重新放置。此即是回溯法的精髓所在。当第n个皇后放置成功后，即得到一个可行解，此时再回到上一个皇后重新放置寻找下一个可行解...如此后，即可找出一个n皇后问题的所有可行解。三、复杂度分析：每一行都有n个位置可以放置，一共有n^n中可能性。因而最坏情况下时间复杂度为O(n^n)。似乎比穷举法要高，但是由于回溯法不测试死结点的分支，它的平均时间复杂度要低于穷举法。 */#include<iostream>#include<cmath>using namespace std;const int N = 4; //皇后的个数int c[N];//记录n个皇后的列坐标 int sum = 0;//保存可以放置的方案数bool OK(int t);//检查当前皇后的列坐标是否合法 void Backtrace(int t); //递归回溯 void Backtrace_2(); //非递归回溯 int main() { Backtrace(0); // Backtrace_2(); system("pause"); return 0;}bool OK(int t)//检查当前皇后的列坐标是否合法 { for(int i=0; i<t; i++) { if(c[i] == c[t] || t-i == abs(c[t]-c[i])) return false; } return true;}void Backtrace(int t) //递归回溯 { if(t == N) { sum++; cout << "方案" << sum << ": "; for(int i=0; i<N; i++) { cout << c[i] << " "; } cout << endl; } else { for(int i=1; i<=N; i++) {c[t] = i; if(OK(t))Backtrace(t+1); } // c[t] = 0; //列坐标还原并回溯（由于c[t]每次都从0开始取值，故列坐标无需还原） }}void Backtrace_2() //非递归回溯 {int t = 0; //第一个顶点入栈while(t >= 0){while(c[t]++ < N)//c[t]默认初始化为0 {if (OK(t)) //c[t]可行才进入下一步 {if(t == N-1){sum++;cout << "方案" << sum << ": ";for(int i=0; i<N; i++){cout << c[i] << " ";}cout << endl;}else{t++;}}}c[t--] = 0; //列坐标还原并回溯}}/* Name: n皇后问题 Copyright: Author: 巧若拙 Date: 07-03-17 09:09 Description: 一、问题描述：在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。n后问题等价于再n×n的棋盘上放置n个皇后，任何2个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上。输入： 给定棋盘的大小n (n ≤ 13)输出： 输出有多少种放置方法。二、解题思路：要解决N皇后问题，其实就是要解决好怎么放置这n个皇后，每一个皇后与前面的所有皇后不能在同一行或同一列或同一斜线上，在这里我们可以以行优先，就是说皇后的行号按顺序递增，只考虑第i个皇后放置在第i行的哪一列，所以在放置第i个皇后的时候，可以从第1列判断起，如果可以放置在第1个位置，则跳到下一行放置下一个皇后。如果不能，则跳到下一列...直到最后一列，如果最后一列也不能放置，则说明之前的皇后放置有问题，则回溯到上一个皇后，把其换到下一个可能位置。此即是回溯法的精髓所在。当第n个皇后放置成功后，即得到一个可行解，此时再回到上一个皇后重新放置寻找下一个可行解...如此后，即可找出一个n皇后问题的所有可行解。本算法的精妙之处在于分别使用三个数组 b[N],c[N+N],d[N+N]用来存储该列和两条斜线是否可用，这样就无需使用函数来判断该坐标是否可用了。 尤其为了避免数组c的下标越界，使用了c[i-j+N]表示坐标的处理，甚为高妙。 */#include<iostream>#include<cmath>using namespace std;const int N = 8; //皇后的个数int cel[N];//记录n个皇后的列坐标 bool b[N]; //b[j]==0表示列j可用bool c[N+N]; //c[j]==0表示左上-右下斜线可用, i - cel[i] == j - cel[j]bool d[N+N]; //d[j]==0表示右上-左下斜线可用 i + cel[i] == j + cel[j]int sum = 0;//保存可以放置的方案数void Backtrace(int r); //递归回溯，r表示第r行 void Backtrace_2(int r);int main() { // Backtrace(0); Backtrace_2(0); return 0;}void Backtrace(int r) //递归回溯，r表示第r行 { if(r == N) { sum++; cout << "方案" << sum << ": "; for(int i=0; i<N; i++) { cout << cel[i]+1 << " "; } cout << endl; } else { for(int j=0; j<N; j++)//可能的列号 {if((!b[j])&& (!c[r-j+N]) && (!d[r+j])) //c[i-j+N]是为了确保下标不越界 {cel[r] = j;b[j] = 1; //宣布占领列j c[r-j+N] = 1; //宣布占领两条斜线 d[r+j] = 1;Backtrace(r+1); //继续递归放置下一个皇后 //还原，以便回溯 b[j] = 0; c[r-j+N] = 0; d[r+j] = 0;} } }}void Backtrace_2(int r) //递归回溯，r表示第r行 { for(int j=0; j<N; j++)//可能的列号 {if((!b[j])&& (!c[r-j+N]) && (!d[r+j])) //c[i-j+N]是为了确保下标不越界 {cel[r] = j;b[j] = 1; //宣布占领列j c[r-j+N] = 1; //宣布占领两条斜线 d[r+j] = 1;if(r == N-1) { sum++; cout << "方案" << sum << ": "; for(int i=0; i<N; i++) { cout << cel[i]+1 << " "; } cout << endl;}elseBacktrace_2(r+1); //继续递归放置下一个皇后 //还原，以便回溯 b[j] = 0; c[r-j+N] = 0; d[r+j] = 0;} }}
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