最大子列和问题的四种不同时间复杂度的算法实现

最近在学习计算机专业课，数据结构课程。在中国大学MOOC网上选修了浙大的《数据结构》课程。最近课程讲到了最大子序列和的问题，结合课程内容、网上的资料借鉴和自己的理解，将解决这个问题的四种不同的算法进行实现和总结。整个工程的代码已经上传。

问题描述：

主函数代码如下：

#include<iostream>#include<time.h>using namespace std;#define NUM_SUM 10int A[NUM_SUM] = {1, 1, 5, -4, 21, -6, 3, 7, -12, 7};int MaxSubseqSum1(int A[], int N);int MaxSubseqSum2(int A[], int N);int MaxSubseqSum3(int A[], int N);int MaxSubseqSum4(int A[], int N);int GetBorderSubseqSum(int A[], int left, int right);int main(){int maxNum = 0;cout <<"系统每秒打点数" << CLK_TCK << endl;clock_t tStart,tStop;tStart = clock();//起始时间//算法执行1000次for(int i=0;i<1000;i++)for(int i=0;i<10000;i++)maxNum = MaxSubseqSum1(A, NUM_SUM);tStop = clock();//结束时间cout << "算法执行时间：" << ((tStop - tStart)/CLK_TCK*1.0/1000) << endl;cout << "结果：" << maxNum << endl;cin.get();cin.get();return 0;}

算法一：暴力求解，时间复杂度：N*N*N。代码实现如下：

//暴力求解//时间复杂度为： N*N*Nint MaxSubseqSum1(int A[], int N){int thisNum=0, maxSum=0;//左边起始端for(int i=0;i<N;i++){//右边起始端for(int j=i;j<N;j++){thisNum =0;//索引到中间的每个数据for(int k=i;k<=j;k++)thisNum +=A[k];if(thisNum>maxSum)maxSum = thisNum;}}return maxSum;}

复杂度浪费在第三个for循环。

算法二：时间复杂度：N*N*。代码实现如下：

//复杂度为N*N的算法int MaxSubseqSum2(int A[], int N){int thisNum=0, maxSum=0;//左边起始端for(int i=0;i<N;i++){thisNum = 0;//左边起始端每变化一次，将thisNum置0一次//右边起始端for(int j=i;j<N;j++){thisNum+=A[j];if(thisNum>maxSum)maxSum = thisNum;}}return maxSum;}

思想：左边的起始端每变化一次将thisNum置0一次，左边起始端定了，在左边起始端到最右边分别有N-i个不同的子列，但是这些子列起始端都是i的位置，每次左边起始端定了，在后面的N-i个子列中求取和最大的那个值，然后在改变左边的起始端。

算法三：分而治之算法，时间复杂度N*logN。代码实现如下：

/分为治之的思想//时间复杂度为N*logNint MaxSubseqSum4(int A[], int N){//获取左右边界int left = 0, right = N-1;//只有一个元素if(left == right){if(A[left]<0)return 0;elsereturn A[left];}return GetBorderSubseqSum(A, left, right);}//将一个小的子列块求其最大列和//该函数是一个递归调用的函数int GetBorderSubseqSum(int A[], int left, int right){//只有一个元素if(left == right){if(A[left]<0)return 0;elsereturn A[left];}//获取边界int mid = (left+right)/2;int nBorderMaxSum = 0;//左右最大列和值//获取左右两快中最大和数int nMaxLeftNum = GetBorderSubseqSum(A, left, mid);int nMaxRightNum = GetBorderSubseqSum(A, mid+1, right);//考虑中间这一一种情况//1向左检索int nTempMaxLeftSum =0;//左边检索的最大和值int nLeftSum=0;for(int i=mid;i>=left;i--){nLeftSum +=A[i];if(nLeftSum>nTempMaxLeftSum)nTempMaxLeftSum=nLeftSum;}//2、向右检索int nTempMaxRightSum =0;//右边检索的最大和值int nRightSum=0;for(int i=mid+1;i<=right;i++){nRightSum +=A[i];if(nRightSum>nTempMaxRightSum)nTempMaxRightSum=nRightSum;}nBorderMaxSum = nTempMaxLeftSum+nTempMaxRightSum;//对nBorderMaxSum、nMaxLeftNum、nMaxRightNum三者取最大的if(nMaxLeftNum>=nMaxRightNum){if(nMaxLeftNum>=nBorderMaxSum)return nMaxLeftNum;elsereturn nBorderMaxSum;}else{if(nMaxRightNum>=nBorderMaxSum)return nMaxRightNum;elsereturn nBorderMaxSum;}}

分而治之的思想：就是将一个列分成左右两个部分，左右子列，分别求左右两个子列的最大和数，再求跨越两个子列的最大列和数，最后求三者中的最大值就是 所要求的的最大列和数。注意：这个算法是利用递归的思想，考虑算法的空间复杂度，如果输入的数据量太大，可能造成算法无法运行出正确结果。

关于这个思想的理解，以下截图来自课程中视频：

算法四：在线处理处理算法，时间复杂度：N。代码实现如下：

//在线处理算法,时间复杂度为Nint MaxSubseqSum3(int A[], int N){int thisNum=0, maxSum=0;for(int i=0;i<N;i++){thisNum+=A[i];if(thisNum>maxSum)maxSum = thisNum;//如果当前和小于0，则将其丢弃置0，因为其对后面没有作用，只能使后面的更小else if(thisNum<0)thisNum =0;}return maxSum;}

在线的意思是每次输入一个数据就进行即时处理，在任何地方终止输入算法，都能给出正确结果。