动态规划问题
来源：互联网 发布：java怎么写服务器 编辑：程序博客网 时间：2024/05/16 11:15
一、简单的动态规划
1）兔子问题
2）青蛙跳台阶
3）青蛙变态跳台阶
4）1*2的长方形填满n*1的长方形问题
上述几个问题都是一样的，都属于斐波那契额数列问题
二、最长上升或下降子序列
典型例题：合唱队问题：
思路：先正者求解最长递增序列，在将数组倒过来就最长递增序列，
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include<string>
#include <sstream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main()
{
int N=0;
while(cin>>N)
{
int *a=(int*)malloc(N*sizeof(int));
for(int i=0;i<N;i++)
cin>>a[i];
int*result1=(int*)malloc(N*sizeof(int));
for(int i=0;i<N;i++)
result1[i]=1;
for (int i=0;i<N;i++)
{
for (int j=i-1;j>=0;j--)
{
if (a[j]<a[i]&&result1[j]+1>result1[i])
{
result1[i]=result1[j]+1;
}
}
}
int*result2=(int*)malloc(N*sizeof(int));
for(int i=0;i<N;i++)
result2[i]=1;
for (int i=N-1;i>=0;i--)
{
for (int j=i+1;j<N;j++)
{
if (a[j]<a[i]&&result2[j]+1>result2[i])
{
result2[i]=result2[j]+1;
}
}
}
int max=0;
int sum=0;
for (int i=0;i<N;i++)
{
sum=result1[i]+result2[i];
if (sum>max)
{
max=sum;
}
}
cout<<N-max+1<<endl;
delete []a;
delete[]result1;
delete[]result2;
}
return 0;
}
三、最长公共子串
求解这个问题有两种解法，一种是
1）普通的三层循环
#include<vector>
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
int main()
{
string str1;
string str2;
while(cin>>str1>>str2)
{
int max=0;
for(int i=0;i=str1.size();i++)
{
for(int j=0;j<str2.size();j++)
{
int m=i;
int k=j;
int temp=0;
while(str1[m]==str2[k])
{
m++;k++;temp++;
}
if(temp>max)
max=temp;
}
}
cout<<max<<endl;
}
return 0;
}
上面的程序指输出了最长子串的长度，若想输出最长子串是什么，只要记下最长子串的起点或终点既可以
下面的解法为动态规划解的，可以输出最长子串是什么，
2）
要求输出最长子串，而且有多个最长子串的时候，输出较短字符串中先出现的子串
#include<iostream>#include<string>#include<vector>using namespace std;int main(){ string str1,str2; while(cin>>str1>>str2) { if(str1.size()<str2.size()) { str1.swap(str2); } int max=0; int idex=0; vector<vector<int> >res(str1.size()+1,vector<int>(str2.size()+1,-1)); vector<vector<string> >vec(str1.size()+1,vector<string>(str2.size()+1,"")); for(int i=1;i<=str1.size();i++) { for(int j=1;j<=str2.size();j++) { if(str1[i-1]==str2[j-1]) { vec[i][j]=vec[i-1][j-1]+str1[i-1]; if(vec[i-1][j-1].size()>0) res[i][j]=res[i-1][j-1]; else res[i][j]=j-1; } else { vec[i][j]=""; } if(vec[i][j].size()>=max) { if(vec[i][j].size()>max) { idex=res[i][j]; max=vec[i][j].size(); } else { if(idex>res[i][j]) idex=res[i][j]; } } } } for(int i=idex;i<idex+max;i++) cout<<str2[i]; cout<<endl; } return 0;}若想输出所有的最长公共子串，则上述代码不需要记录idex,只记录vec[i][j]即可，即以str1[i]str2[j]结尾的最长子串，然后遍历vec,输出最长的
也可以记录最长的子串出现的idex号，然后根据长度来输出
四、最长公共自序列
与最长子串来讲，此题用动态规划来做
#include <iostream>#include <string>using namespace std;int main(int argc, char **argv){string str1 = "ABCBDAB";string str2 = "BDCABA";int x_len = str1.length();int y_len = str2.length();int arr[50][50] = {{0,0}};int i = 0;int j = 0;for(i = 1; i <= x_len; i++){for(j = 1; j <= y_len; j++){if(str1[i - 1] == str2[j - 1]){arr[i][j] = arr[i - 1][j - 1] + 1;}else{if(arr[i][j - 1] >= arr[i - 1][j]){arr[i][j] = arr[i][j - 1];}else{arr[i][j] = arr[i -1][j];}}}}cout<<arr[x_len][y_len]<<endl;}- 此题目还需要有一个注意的是：如何输出所有的最长子序列(对于输出所有的最长子串来说是比较容易的，因为子串连续，子序列不连续）
- 下面讲解如何输出所有的最长子序列
输出一个最长公共子序列并不难（网上很多相关代码），难点在于输出所有的最长公共子序列，因为 LCS 通常不唯一。总之，我们需要在动态规划表上进行回溯 —— 从
table[m][n]，即右下角的格子，开始进行判断：如果格子
table[i][j]对应的X[i-1] == Y[j-1]，则把这个字符放入 LCS 中，并跳入table[i-1][j-1]中继续进行判断；如果格子
table[i][j]对应的X[i-1] ≠ Y[j-1]，则比较table[i-1][j]和table[i][j-1]的值，跳入值较大的格子继续进行判断；直到 i 或 j 小于等于零为止，倒序输出 LCS 。
如果出现
table[i-1][j]等于table[i][j-1]的情况，说明最长公共子序列有多个，故两边都要进行回溯（这里用到递归）。// 动态规划求解并输出所有LCS #include <iostream> #include <string> #include <vector> #include <set> using namespace std; string X = "ABCBDAB"; string Y = "BDCABA"; vector<vector<int>> table; // 动态规划表 set<string> setOfLCS; // set保存所有的LCS int max(int a, int b) { return (a>b)? a:b; } /** * 字符串逆序 */ string Reverse(string str) { int low = 0; int high = str.length() - 1; while (low < high) { char temp = str[low]; str[low] = str[high]; str[high] = temp; ++low; --high; } return str; } int lcs(int m, int n) { // 表的大小为(m+1)*(n+1) table = vector<vector<int>>(m+1,vector<int>(n+1)); for(int i=0; i<m+1; ++i) { for(int j=0; j<n+1; ++j) { // 第一行和第一列置0 if (i == 0 || j == 0) table[i][j] = 0; else if(X[i-1] == Y[j-1]) table[i][j] = table[i-1][j-1] + 1; else table[i][j] = max(table[i-1][j], table[i][j-1]); } } return table[m][n]; }/** * 求出所有的最长公共子序列，并放入set中 */ void traceBack(int i, int j, string lcs_str) { while (i>0 && j>0) { if (X[i-1] == Y[j-1]) { lcs_str.push_back(X[i-1]); --i; --j; } else { if (table[i-1][j] > table[i][j-1]) --i; else if (table[i-1][j] < table[i][j-1]) --j; else // 相等的情况 { traceBack(i-1, j, lcs_str); //语句1 traceBack(i, j-1, lcs_str); //语句2 return; } } } setOfLCS.insert(Reverse(lcs_str)); }int main() { int m = X.length(); int n = Y.length(); int length = lcs(m, n); cout << "The length of LCS is " << length << endl; string str; traceBack(m, n, str); set<string>::iterator beg = setOfLCS.begin(); for( ; beg!=setOfLCS.end(); ++beg) cout << *beg << endl; getchar(); return 0; }
五、回文字符串涉及到的动态规划问题
此处只是简单介绍连个回文的题目
1判断一个字符串的最长回文子串多长
网上有很多关于磁体的解法，但是看起来比较复杂，就没有看，然后自己想了一种用动态规划做的，可能时间复杂度比较高
1）先将一直字符串逆序，形成了两个字符串，
2）求取两个字符串的最长公共子串，但是每求出一个公共子串要返回去验证是否是回文
#include<iostream> #include<string> using namespace std; int Judge_if_real(string str,int i,int temp) { string s; for(int j=i,k=i+temp-1;j<=k;j++,k--) { if(str[j]!=str[k]) return 0;} return 1; } int main() { string str1;while(cin>>str1) { string str2; for(int i=str1.size()-1;i>=0;i--) {str2+=str1[i]; } int max=0; int idex=0; for(int i=0;i<str1.size();i++) { for(int j=0;j<str2.size();j++) { if(str1[i] == str2[j]) { int m=i; int k=j; int temp=0; while(m<str1.size()&&k<str2.size()&&str1[m]==str2[k]) { m++; k++; temp++; } if(temp>max&&Judge_if_real(str1,i,temp)) { max=temp; } } } } cout<<max<<endl; } return 0; }2）判断最少删除几个字符，使得字符串变成最长回文字符串
此题即为求取字符串和字符串逆序的最长公共自序列
六、背包问题
1）0—1背包问题
01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }
#include<iostream> using namespace std; #define N 3 // N件宝贝 #define V 5 // C是背包的总capacity int main() { int value[N + 1] = {0, 60, 100, 120}; // 钱啊 int weight[N + 1] = {0, 1, 2, 3}; // 重量 int f[N + 1][V + 1] = {0}; // f[i][j]表示在背包容量为j的情况下， 前i件宝贝的最大价值 int i = 1; int j = 1; for(i = 1; i <= N; i++) { for(j = 1; j <= V; j++) { // 递推关系式出炉 if(j < weight[i]) { f[i][j] = f[i - 1][j]; } else { int x = f[i - 1][j]; int y = f[i - 1][j - weight[i]] + value[i]; f[i][j] = x < y ? y : x; } } } cout<<f[N + 1][V+1]<<endl;return 0;}2）完全背包问题
有n种物品，每种物品有无限个，每个物品的重量为weight[i]，每个物品的价值为value[i]。现在有一个背包，它所能容纳的重量为total，问：当你面对这么多有价值的物品时，你的背包所能带走的最大价值是多少？
与上面0——1背包的区别就是，每个物品有无数个，那么到后续在需要放进背包的时候可以是任何一一个
1） 子问题定义：F[i][j]表示前i种物品中选取若干件物品放入剩余空间为j的背包中所能得到的最大价值。
2） 根据第i种物品放多少件进行决策
(2-1)
其中F[i-1][j-K*C[i]]+K*W[i]表示前i-1种物品中选取若干件物品放入剩余空间为j-K*C[i]的背包中所能得到的最大价值加上k件第i种物品；
空间复杂度O(VN)、时间复杂度为O(NV∑(j/C[i]))
for（int i=1;i<=N;i++){ for(int j=1;j<=m;j++) { int temp=F[i-1][j]]; for(int k=1;k<j./w[i];k++) { if(temp<F[i-1][j-k*w[i]]+k*w[i]; temp=F[i-1][j-k*w[i]]+k*w[i]; } F[i][j]=tenmp; }}问题简化1
设F[i][j]表示出在前i种物品中选取若干件物品放入容量为j的背包所得的最大价值。那么对于第i种物品的出现，我们对第i种物品放不放入背包进行决策。如果不放那么F[i][j]=F[i-1][j]；如果确定放，背包中应该出现至少一件第i种物品，所以F[i][j]种至少应该出现一件第i种物品,即F[i][j]=F[i][j-C[i]]+W[i]。为什么会是F[i][j-C[i]]+W[i]？因为F[i][j-C[i]]里面可能有第i种物品，也可能没有第i种物品。我们要确保F[i][j]至少有一件第i件物品，所以要预留C[i]的空间来存放一件第i种物品。
状态方程为：
for（int i=1;i<=N;i++)
{
for(int j=1;j<=m;j++)
{
int temp=0;
if(j>w[i])
temp=F[i][j-w[i]]+v[i];
F[i][j]=max(F[i-1][j],temp);
}
}
时间复杂度优化为O(NV)3）多重背包问题
此问题与完全背包的问题比较相似
有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有num[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装
入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
分析：状态转移为：
程序需要求解N*V个状态，每一个状态需要的时间为O（v/Weight[i]），总的复杂度为O(NV*Σ(V/Weight[i]))。
for（int i=1;i<=N;i++){ for(int j=1;j<=m;j++) { int temp=F[i-1][j]; for(int k=1;k<j./w[i]&&k<num[i];k++) { if(temp<F[i-1][j-k*w[i]]+k*w[i]; temp=F[i-1][j-k*w[i]]+k*w[i]; } F[i][j]=tenmp; }}七、动态规划的应用
1）请编写一个函数（允许增加子函数），计算n x m的棋盘格子（n为横向的格子数，m为竖向的格子数）沿着各自边缘线从左上角走到右下角，总共有多少种走法，要求不能走回头路，即：只能往右和往下走，不能往左和往上走。
解析：
#include<iostream>#include<vector>using namespace std;int main(){ int n,m; while(cin>>n>>m) { vector<vector<int>>vec(n+1,vector<int>(m+1,0)); for(int i=0;i<n+1;i++) vec[i][0]=1; for(int i=0;i<m+1;i++) vec[0][i]=1; for(int i=1;i<n+1;i++) { for(int j=1;j<m+1;j++) { vec[i][j]=vec[i-1][j]+vec[i][j-1]; } } cout<<vec[n][m]<<endl; } return 0;}2)字符串的距离或计算字符串的相似度#include<iostream>#include<string>#include<vector>using namespace std;int main(){ string str1,str2; while(cin>>str1>>str2) { if(str1.size()<=0) { cout<<1<<"/"<<str2.size()+1<<endl; continue; } if(str2.size()<=0) { cout<<1<<"/"<<str1.size()+1<<endl; continue; } vector<vector<int> >res(str1.size()+1,vector<int>(str2.size()+1,0)); for(int i=0;i<=str1.size();i++) { res[i][0]=i; } for(int i=0;i<=str2.size();i++) { res[0][i]=i; } for(int i=1;i<=str1.size();i++) { for(int j=1;j<=str2.size();j++) { if(str1[i-1]==str2[j-1]) { res[i][j]=res[i-1][j-1]; } else { res[i][j]=min(res[i-1][j]+1,min(res[i][j-1]+1,res[i-1][j-1]+1)); } } } cout<<1<<"/"<<res[str1.size()][str2.size()]+1<<endl; } return 0;}注意：此文中关于背包的动态规划问题值讲解了基础解析，下次大背包问题的简化
- 动态规划----贪心的动态规划问题
- 动态规划问题
- 动态规划问题
- 动态规划回文问题
- 动态规划 背包问题
- 【动态规划】背包问题
- 动态规划问题
- 动态规划问题
- 【动态规划】加油问题
- 动态规划基本问题
- 动态规划-背包问题
- 动态规划问题
- 动态规划基本问题
- 动态规划---->货郎担问题
- 动态规划+背包问题
- 乘法问题(动态规划)
- 动态规划问题
- 动态规划问题
- Angularjs中table中实现点击td中按钮不触发tr的点击事件
- Qt入门-文件读写
- 数据库索引的实现原理
- Android Studio创建/打开项目时一直处于Building“project name”Gradle project info的解决办法
- SQL Server基础之存储过程
- 动态规划问题
- 判断当前月有多少天
- java基本数据类型
- 关于BaseRecyclerViewAdapterHelper
- Android 如何引用库工程Library的资源
- How to unlock xcode file to make edits from different computers?
- HDU 3567 Eight II
- 上周热点回顾（2.27-3.5）
- React-Native ListView中按钮点击变色效果实现
