【Mobius绮丽的辗转】莫比乌斯反演
来源:互联网 发布:拖延心理学知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/04/30 23:57
Problem
对于给出的n个询问,每次求有多少个数对(x,y),满足a≤x≤b,c≤y≤d,且gcd(x,y) = k,gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。
Sub problem
设
我们可以先求出
然后
那么问题就变成了如何求
Discuss
讨论一下
先设
显然
再设
因为
由于
所以
同时,我们会有
此时,我们将
Mobius
正片开始
我们非常功利地得出结论:
正当我们遇到这种式子时,
当
其中
Discuss:μ 的性质
(1)
可以证明,
miu[1]=1;for (i=2;i<maxn;i++){ if (!bz[i]){ p[++p[0]]=i; miu[i]=-1; } for (j=1;j<=p[0];j++){ k=i*p[j]; if (k>=maxn) break; bz[k]=true; if (i%p[j]==0){ miu[k]=0; break; }else miu[k]=-miu[i]; }}
(2)
Back to the Problem
题目的式子是
跟
所以
然而,这并没有什么卵用,我们仍然过不了。
还能优化??
Deeplier discuss
我们发现,
其实
所以我们可以将相同值的
显然
所以可以把时间复杂度优化到
Ending
至此,我们已解决了这道题。
原题Code。
Proving
μ 的“和性质”
求证:
证明:
讨论
因为
所以
我们设
那么,
我们观察一下杨辉三角:
显然的是,当
现在考虑
由
得证。
证明反演
求证:
证明:
这里经历一个重要的过程:转换主体,
感性地想,所有的
反过来,那么所有的
所以,
令
由
当
当
所以
综上,
得证。
另一个变式
True Ending
至此,Mobius反演已证明完毕。
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