莫比乌斯(mobius)笔记

mobius反演的本质是容斥原理，这在《组合数学》里面有提到

基本公式定理

1. mobius反演公式
   

   F(n)f(n)=∑d∣nf(d)=∑d∣nμ(n/d)F(d)=∑d∣nμ(d)F(n/d)
   
   另一种描述:
   F(d)f(d)=∑d∣nf(n)=∑d∣nF(n)μ(n/d)

2. 经典公式

   nϕ(n)∑d∣nμ(d)=∑d∣nϕ(d)=∑d∣nμ(d)nd=(n==d)

线性筛

我们可以用线性筛法处理积性函数,简单的说就是用每次用合数最小质因子去筛掉它，这能保证O(n)的时间复杂度，详细的证明请见文末参考文献。可是对于和性的函数我们也可以这样晒去.

void monius(){    cnt =0;    mu[1] = 1;    memset(prime,0,sizeof(prime));    for(int i = 2 ; i<maxn ; ++i){        if(!prime[i]){            prime[cnt++] = i;            mu[i] =-1;        }        for(int j=0 ; j<cnt && i*prime[j]<maxn ; ++j){            prime[i*prime[j]] = 1;            if(i%prime[j])mu[prime[j]*i] = -mu[i];            else {                mu[i*prime[j]] = 0;                break;            }        }    }    sum_mu[0] = 0;    for(int i=1 ; i<maxn ; ++i)        sum_mu[i] = sum_mu[i-1]+mu[i];}

void phi_table(){    cnt =0;    phi[1] = 0;    memset(prime,0,sizeof(prime));    for(int i = 2 ; i<maxn ; ++i){        if(!prime[i]){            prime[cnt++] = i;            phi[i] =i-1;        }        for(int j=0 ; j<cnt && i*prime[j]<maxn ; ++j){            prime[i*prime[j]] = 1;            if(i%prime[j])phi[prime[j]*i] = phi[i]*(phi[prime[j]]);            else {                phi[i*prime[j]]= phi[i]*prime[j];                break;            }        }    }}

分块求和

如果说计算式中出现了 ∑if(i)∗g(⌊(n/i)⌋),则由于 ⌊ni⌋的取值只有 O(n√) 种显然我们可以运用分段求和(可以打印出这样的值来看一下)记录f的前缀和，然后g就进行分段求和.
这是mobius中的常见的优化.

ll F(int n, int m, int d) {    if (n > m) swap(n, m);    ll ans = 0;    n /= d, m /= d;    for (int i = 1, last = 1; i <= n; i = last + 1) {        last = min(n / (n / i), m / (m / i));        ans += (ll)(sum[last] - sum[i - 1]) * (n / i) * (m / i);    }    return ans;}

gcd相关

mobius最广的应用就是gcd相关的求和问题.

∑a≤N,b≤Mgcd(a,b)=1

令f(d)=:gcd(a,b)=d的个数(a≤N,b≤M),F(d)=:d∣gcd(a,b)的个数.显然有

F(d)F(d)f(d)=⌊N/d⌋∗⌊M/d⌋=∑d∣gcd(a,b)=nf(n)=∑d∣nμ(n/d)F(n)=∑x=1⌊N/d⌋u(x)F(dx)=∑x=1⌊N/d⌋u(x)⌊Ndx⌋∗⌊Mdx⌋

显然将d设为就是求解d为1的问题，同时，若d为1我们也可以将其转化为⌊N/d⌋,⌊M/d⌋规模下d=1的问题.,不过需要说明的问题是我们可以用分块求和这样就能在n√的复杂度解决这个问题了.
例题:
2301
格点可视性问题

∑f(d)∑⌊N/d⌋d|nF(n)

这个就必修使用双分套分块求和以达到O(n)的复杂度了.
可以参考文献3.
例题:
能量采集

筛出每一个gcd(a,b)=d的个数 d=1,2,…,n

这个题目不需要mobius也能解决，主要是筛法应用.
题目:
GCD of Sequence.

参考
从N往1，运用筛法O(nlgn)

一个分块求和的例子

Mophues
这个题目就是用了分块求和，求出对于每一个计算⌊N/j⌋的mobius贡献，再运用分块求和再n√处理询问.

参考文献:

贾智鹏 线性筛
ACDreamer
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