压缩路径，动态规划 过河（River）题解

练习题

在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0，1，……，L（其中L是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。
题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。
对于30%的数据，L <= 10000；
对于全部的数据，L <= 10^9。
格式

输入格式

输入的第一行有一个正整数L（1 <= L <= 10^9），表示独木桥的长度。第二行有三个正整数S，T，M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离，及桥上石子的个数，其中1 <= S <= T <= 10，1 <= M <= 100。第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

输出格式

输出只包括一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。

这道题是用的路径压缩，毕竟路那么长，纪录是不行的。我们发现两个石头之间大量的路程是浪费了的，所以需要压缩他们来减小计算时间以及空间。桥很长，但是石子数很少，也就是说，中间可能存在很长的一段空白区域，而这段空白区域就是造成大量无效运算的元凶，需要我们将这部分空白区域进行压缩。

现在，我们假设每次走p或者p+1步，则有 px+(p+1)y=s。
1.gcd(p+1,p)=gcd(1,p)=1,即p与p+1的最大公约数是1；
2.由扩展欧几里得可知，对于二元一次方程组：px+(p+1)y==gcd(p,p+1)是有整数解的，即可得：
px+(p+1)y==s是一定有整数解的。
假设px+(p+1)y==s的解为：x=x0+(p+1)t,y=y0-pt。令0<=x<=p（通过增减t个p+1来实现），s>p*(p+1)-1,则有：y=（s-px）/（p+1）>=(s-p*p)/(P+1)>(p*(p+1)-1-px)/(p+1)>-1>=0
即表示，当s>=p*(p+1)时，px+(p+1)y==s有两个非负整数解，每次走p步或者p+1步，p*(p+1)之后的地方均能够到达。如果两个石子之间的距离大于p*(p+1)，那么就可以直接将他们之间的距离更改为p*(p+1)。
综上，得到压缩路径的方法：若两个石子之间的距离>t*(t-1)，则将他们的距离更改为t*(t-1)。

注意，它的输入是无序的，需要自己排序。同时千万不要忘了标记石头。是标记！不是记录！

然后压缩路径就行了，小小的动态规划一下即可。
代码如下：

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<iostream>#include<cmath>using namespace std; const int N=100+5;const int NN=50000+5;int L,S,T,M,i,j,ans,stone[N],line[NN],number[NN],k,t;//S最小距离，T最大距离，M石子个数  int main()  {      freopen("river.in","r",stdin);    freopen("river.out","w",stdout);    scanf("%d",&L);      scanf("%d%d%d",&S,&T,&M);      for (i=0;i<M;i++)      scanf("%d",&stone[i]);      if (S!=T)      {          for (i=0;i<M-1;i++)          {              for (j=0;j<M-i-1;j++)              if(stone[j]>stone[j+1])              {                  t=stone[j];                  stone[j]=stone[j+1];                  stone[j+1]=t;              }          }//排序           stone[M]=L;          if (stone[0]>90)          {              k=stone[0]-90;              for(i=0;i<=M;i++)              stone[i]-=k;          }          for (i=1;i<=M;i++)          {              if (stone[i]-stone[i-1]>90)              {                  k=stone[i]-stone[i-1]-90;                  for(j=i;j<=M;j++)                  stone[j]-=k;              }          }          memset(number,-1,sizeof(number));          memset(line,0,sizeof(line));           for (i=0;i<M;i++) line[stone[i]]=1; //标记石头         number[0]=0;          for (i=S;i<stone[M]+T;i++)          {              ans=101;              for (j=i-T;j<=i-S;j++)              if (number[j]<ans&&number[j]!=-1&&j>=0) ans=number[j];              if (ans!=101) number[i]=ans+line[i];          }          ans=101;          for (i=stone[M];i<stone[M]+T;i++)          if (number[i]<ans&&number[i]!=-1) ans=number[i];          printf("%d",ans);      }      else      {          ans=0;          for (i=0;i<M;i++)          if (stone[i]%S==0) ans++;          printf("%d",ans);      }      return 0;  }