最小割——POJ 3469

• 题目链接： http://poj.org/problem?id=3469

• 题意： 给出A，B两个内核，给出N个进程，每个进程在不同的内核花费不一样，再给出M个任务，每个任务是a，b两个进程在交换数据，如果在同一内核就不需要额外花费，如果在不同内核则需要额外花费。求N个进程都跑起来并且满足M个任务的条件下的最小花费。

• 分析： 先不考虑M个任务，我们发现每个进程要么属于A，要么属于B，我们可以类比网络流里的S集合和T集合，那么我们从源点向每个进程建边，容量为Ai；从每个进程向汇点建边，容量为Bi，那么最小割恰好也就是每个进程划分好的最小花费：从源点跑到汇点，每个进程的流量都是最小的那个，所以最终就是最小花费。然后再这个基础上，M个任务的建边就是在a,b两个进程间再建一条容量为c的边，相当于强行扩大了原来网络流的流量：如果之前所有满边都在同一个集合的话，这些新加的边不会对最大流量（即等同最大花费）产生影响，但如果这条边所连的两个进程在不同的集合中的话，这条相当于又给没跑满的边增加了出路：即增加了流量（增加了花费）。在这样建边的情况下，最后划分出来的两个集合得到的最小割就一定是最小花费了。

• 图示：
  如果没有交换数据的任务进程，我们发现最小花费的边限制了流量，即最终跑出的最大流就是整体的最小花费：200+300=500
  
  如果我们在b，c进程间添加一个数据交换的任务，花费为800，即建了一条容量为800的双向边。这样之前S->b没有跑满的边，又可以通过b->c跑出新的流量，直到跑满b->T，c->T，相当于b,c在同一个集合了，且得到最大流量也就是最小花费：200+300+200=700。
  

• AC代码：

/*************************************************************************    > File Name: test.cpp    > Author: Akira     > Mail: [e-mail]  ************************************************************************/#include <iostream>#include <sstream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <string>#include <cstdlib>#include <algorithm>#include <bitset>#include <queue>#include <stack>#include <map>#include <cmath>#include <vector>#include <set>#include <list>#include <ctime>#include <climits>typedef long long LL;typedef unsigned long long ULL;typedef long double LD;#define MST(a,b) memset(a,b,sizeof(a))#define CLR(a) MST(a,0)#define Sqr(a) ((a)*(a))using namespace std;#define MaxN 200010#define MaxM MaxN*44#define INF 0x3f3f3f3f#define PI 3.1415926535897932384626const int mod = 1E9+7;const double eps = 1e-6;#define bug cout<<88888888<<endl;#define debug(x) cout << #x" = " << x;struct Edge{    int u,v,next;    int flow;}edge[MaxM];   //最大边数，一般都是实际边数的2倍甚至以上int head[MaxN];int cont;void init(){        //记得init    cont = 0;    MST(head, -1);}void add(int u, int v, int flow){    edge[cont].u = u;    edge[cont].v = v;    edge[cont].flow = flow;    edge[cont].next = head[u];    head[u] = cont++;}void Add(int u, int v, int flow){    //建正反两条边，反向流量为0    add(u, v, flow);    add(v, u, 0);}int dis[MaxN];int num[MaxN];int cur[MaxN];int pre[MaxN];void BFS(int source,int sink){    queue<int>q;    CLR(num);    MST(dis,-1);    q.push(sink);    dis[sink]=0;    num[0]=1;    while(!q.empty())    {        int u=q.front();        q.pop();        for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)        {            int v = edge[i].v;            if(dis[v] == -1)            {                dis[v] = dis[u] + 1;                num[dis[v]]++;                q.push(v);            }        }    }}int ISAP(int source,int sink,int n)      //从源点到汇点，n为总点数，返回最大流{    memcpy(cur,head,sizeof(cur));    int flow=0, u = pre[source] = source;    BFS( source,sink);    while( dis[source] < n )    {        if(u == sink)        {            int df = INF, pos;            for(int i =source;i != sink;i = edge[cur[i]].v)            {                if(df > edge[cur[i]].flow)                {                    df = edge[cur[i]].flow;                    pos = i;                }            }            for(int i = source;i != sink;i = edge[cur[i]].v)            {                edge[cur[i]].flow -= df;                edge[cur[i]^1].flow += df;            }            flow += df;            //cout << flow << endl;            u = pos;        }        int st;        for(st = cur[u];st != -1;st = edge[st].next)        {            if(dis[edge[st].v] + 1 == dis[u] && edge[st].flow)            {                break;            }        }        if(st != -1)        {            cur[u] = st;            pre[edge[st].v] = u;            u = edge[st].v;        }        else        {            if( (--num[dis[u]])==0 ) break;            int mind = n;            for(int id = head[u];id != -1;id = edge[id].next)            {                if(mind > dis[edge[id].v] && edge[id].flow != 0)                {                    cur[u] = id;                    mind = dis[edge[id].v];                }            }            dis[u] = mind+1;            num[dis[u]]++;            if(u!=source)            u = pre[u];        }    }    return flow;}int N,M;int main(){    //std::ios::sync_with_stdio(false);    while(~scanf("%d%d", &N, &M))    {        init();        int s = 0, t=N+1;        for(int i=1;i<=N;i++)         {            int x,y;            scanf("%d%d", &x, &y);            Add(s,i,x);            Add(i,t,y);        }        while(M--)        {            int a,b,c;            scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);            Add(a,b,c);            Add(b,a,c);        }        cout << ISAP(s,t,N+1) << endl;    }    //system("pause");}