高效的动态规划算法应用案例

1.前言：动态规划与分治算法类似，递归求解子问题，再组合子问题来求解。但动态规划在子问题有重叠的情况下有优势。动态规划算法用于求解最优化问题，所求解的问题需要满足最优子结构性质：问题最优解由相关子问题的最优解组合而成。

2.动态规划的两种实现方式：

    2.1 带备忘的自顶向下法

           所谓的带备忘，即保存每一个子问题的解，在下次用时直接取出而不需要重新计算，从而提高效率。

    2.2 自底向上法

          即任何子问题的求解，只依赖于规模更小的子子问题的求解。由于是从小到大的规模顺序求解，即在计算子问题时，它的所有依赖的更小的子问题已经求解且保存，不需重新计算，从而提高效率。

3.钢条切割最优化求解（算法导论上的）

问题描述：给定钢条长度n和一个价格表p,求切割方案，使得销售收益r最大。

价格表

长度i12345678910价格p15891017172024

30

建立数学模型：r(n)=max(p(i)+r(n-i));    其中i=1,2,...n

说明：我们将钢条从左边切割下长度为i的一段，只对右边剩下的n-i长度来继续进行切割。即原问题最优解只包含一个子问题解（右端剩余部分），而不是两个。

java代码如下：

package com.talkweb.test01;import java.util.Arrays;/** * 动态规划运用案例 * 钢条切割 * @author Administrator * */public class DynamicProgram {public static void main(String[] args){int[] p={-1,1,5,8,9,10,17,17,20,24,30};//下标对应钢条长度，值对应收益,下标从1开始DynamicProgram dp=new DynamicProgram();//1.初始化rint[] r=new int[p.length];for(int i=0;i<r.length;i++){r[i]=-1;}//2.调用方法求解int n=7;//需要切割的钢条长度int m=dp.iterationValue(p,n, r);//带备忘自顶向下System.out.println("带备忘自顶向下 m="+m);dp.printBottom_up(p,n);      //自底向上}/** * 自顶向下递归求解：递归计算当前长度为n的钢条的最优值 * @param p钢条对应收益数组 * @param n当前钢条长度 * @param r记录最优值 */public int iterationValue(int[] p,int n,int[] r){if(r[n]>=0){//若已记录当前长度n的最优值，则直接返回return r[n];}//若当前长度n为0则最优值为0if(n==0){return 0;}int s=-1;//记录当前n做一次切割各种方案的最优值for(int i=1;i<=n;i++){//遍历当前长度，即当前长度的各种切割方案s=max(s,p[i]+iterationValue(p,n-i,r));}//保存当前长度n的最优值r[n]=s;return s;}public int max(int s,int t){return s>t?s:t;}/** * 自底向上非递归求解 * @param p * @return */public int[] bottom_up(int[] p,int n){int[] r=new int[n+1];  //保存最优值int[] s=new int[n+1];  //保存最优切割方案for(int j=1;j<=n;j++){int q=-1;                //记录钢条长度为j时的最优值for(int i=1;i<=j;i++){   //对长度为j的钢条做一次切割if(q<p[i]+r[j-i]){q=p[i]+r[j-i];  //保存较大值s[j]=i;         //保存当前长度为j的最佳切割长度i}}r[j]=q;     //保存钢条规模长度为j的最佳收益值}System.out.println("自底向上  最优收益："+r[n]);return s; //返回钢条长度为n时的最佳收益值}public void printBottom_up(int[]p,int n){int[]s=bottom_up(p,n);System.out.println("切割方案：");while(n>0){System.out.print(s[n]+" ");n=n-s[n];}System.out.println();}}

4.商品折扣最优购买方案的优惠总额(只是简单的自顶向下实现，没有用到动态规划)

package com.talkweb.arithmetic;import java.util.ArrayList;import java.util.Arrays;import java.util.List;/** * 商品折扣最优购买方案 * @author Administrator * */public class GoodsDiscount {public static void main(String[] args){//1.折扣集合List<ZheKou> zks=new ArrayList<ZheKou>();zks.add(new ZheKou(0,"0",0,0));zks.add(new ZheKou(1,"折扣1",30,6));zks.add(new ZheKou(3,"折扣2",60,15));zks.add(new ZheKou(2,"折扣3",99,20));GoodsDiscount gd=new GoodsDiscount();double money=100;int[] s=new int[zks.size()];System.out.println("优惠总额："+gd.fun(zks,money,0));}/** * 递归计算最多优惠额 * @param zks商品折扣 * @param money余额 * @return最多优惠额 */public double fun(List<ZheKou> zks,double money,double youhui){//1.若余额不足以购买任何折扣，则返回优惠额boolean flag=false;for(int i=1;i<zks.size();i++){if(zks.get(i).getPrice()<money){flag=true;}}if(!flag){return youhui;}//2.迭代可以购买每一种折扣，计算并记录当前购买最大优惠额double max=0;for(int i=1;i<zks.size();i++){if(money>zks.get(i).getPrice()){//计算购买1件第i种折扣优惠额max=maxValue(max,fun(zks,money-zks.get(i).getPrice()+zks.get(i).getYhPrice(),youhui+zks.get(i).getYhPrice()));}}//保存优惠额youhui=max;return youhui;}public double maxValue(double m,double y){return m>y?m:y;}}