数据结构基础篇(6)--二叉树特性

一、基本性质

性质1：在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点(i>=1)
性质2：深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点。
性质3：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点树为n0，度为2的结点树为n2，则n0=n2+1.
分析：终端结点也就是叶子结点，而一棵树，除了叶子结点外，剩下的就是度为1或2的结点数，我们设n1为度是1的结点数，则树的结点总数n=n0+n1+n2。

从分支数的角度再来思考，由于根节点只有分支出去，没有分支进来，所以总的分支线总数为结点总数减去1，由上图得到，对于ABCD结点来说，它们有两个分支线出去，而E结点只有一个分支线出去。所以总分支线为4*2+1*1=9.
用代数表达式就是分支线总数=n-1=n1+2*n2,即度为1的个数加上度为2的个数，即是分支数。
n0+n1+n2-1=n1+2*n2 结论就是n0=n2+1。

性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2(n)]+1 ([x]表示不大于x的最大整数)。
分析：由满二叉树的定义可以得到，深度为k的满二叉树的结点树n一定是2^k-1,因为这是结点最多的情况，那么对于n=2^k-1倒推得到满二叉树的深度为k=log2(n+1),比如结点树为15的满二叉树，深度为4。完全二叉树的结点树一定少于同样深度的满二叉树的结点数2^k-1,但一定对于2^(k-1)-1,因此得出该结果。

性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树（其深度为[log2(n)]+1）的结点按层序编号(从第1层到底=第[log2(n)]+1层，每层从左到右)对任一结点i有：
a、如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1,则其双亲是结点[i/2]。
b、如果2i>n,则结点i无左孩子(结点i为叶子结点)；否则其左孩子是结点2i。
c、如果2i+1>n,则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点2i+1。

二、二叉树的存储结构

(1)二叉树顺序存储结构：就是用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置，也就是数组的下标要能体现结点之间的逻辑关系。下图所示的是完全二叉树

而一般的二叉树，对于不存在的结点设置为”^”即可。但会对存储空间造成浪费，所以，顺序存储结构一般适用于完全二叉树。

(2)二叉链表：二叉树每个结点最多有两个孩子，所以为它设计一个数据域和两个指针域。

当增加一个指向其双亲的指针域，那么就称为三叉链表。

三、二叉树的遍历

(1)前序遍历：若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树，下面给出递归实现：

void PreOrderTraverse(TreeNode node){    if(node==null){        return;    }    System.out.println(node.value);    PreOrderTraverse(node.left);    PreOrderTraverse(node.right);}

(2)中序遍历：若树为空，则空操作返回，否则从根结点开始，中序遍历根节点的左子树，然后访问根结点，最后中序遍历右子树。下面给出递归实现：

void InOrderTraverse(TreeNode node){    if(node==null){        return;    }    InOrderTraverse(node.left);    System.out.println(node.value);    InOrderTraverse(node.right);}

(3)后序遍历：若树为空，则空操作返回，否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后是访问根结点。下面给出递归实现：

void PostOrderTraverse(TreeNode node){    if(node==null){        return;    }    PostOrderTraverse(node.left);    PostOrderTraverse(node.right);    System.out.println(node.value);}

(4)层序遍历：若树为空，则空操作返回，否则从树的第一层，也就是根结点开始访问，从上而下逐层遍历，在同一层中，按从左到右的顺序对结点逐个访问。

注意：已知前序和后序遍历，是不能确定一棵二叉树的。

文章只是作为自己的学习笔记，借鉴了网上的许多案例，如果觉得阔以的话，希望多交流，在此谢过…