Maximum Subarray连续子序列最大和 -- LeetCode（经典动态规划）

原题链接: http://oj.leetcode.com/problems/maximum-subarray/ 
这是一道非常经典的动态规划的题目，用到的思路我们在别的动态规划题目中也很常用，以后我们称为”局部最优和全局最优解法“。
基本思路是这样的，在每一步，我们维护两个变量，一个是全局最优，就是到当前元素为止最优的解是，一个是局部最优，就是必须包含当前元素的最优的解。接下来说说动态规划的递推式（这是动态规划最重要的步骤，递归式出来了，基本上代码框架也就出来了）。假设我们已知第i步的global[i]（全局最优）和local[i]（局部最优），那么第i+1步的表达式是：
local[i+1]=Math.max(A[i], local[i]+A[i])，就是局部最优是一定要包含当前元素，所以不然就是上一步的局部最优local[i]+当前元素A[i]（因为local[i]一定包含第i个元素，所以不违反条件），但是如果local[i]是负的，那么加上他就不如不需要的，所以不然就是直接用A[i]；
global[i+1]=Math(local[i+1],global[i])，有了当前一步的局部最优，那么全局最优就是当前的局部最优或者还是原来的全局最优（所有情况都会被涵盖进来，因为最优的解如果不包含当前元素，那么前面会被维护在全局最优里面，如果包含当前元素，那么就是这个局部最优）。

接下来我们分析一下复杂度，时间上只需要扫描一次数组，所以时间复杂度是O(n)。空间上我们可以看出表达式中只需要用到上一步local[i]和global[i]就可以得到下一步的结果，所以我们在实现中可以用一个变量来迭代这个结果，不需要是一个数组，也就是如程序中实现的那样，所以空间复杂度是两个变量（local和global），即O(2)=O(1)。
代码如下： 

[java] view plain copy

 

1. public int maxSubArray(int[] A) {  
2.     if(A==null || A.length==0)  
3.         return 0;  
4.     int global = A[0];  
5.     int local = A[0];  
6.     for(int i=1;i<A.length;i++)  
7.     {  
8.         local = Math.max(A[i],local+A[i]);  
9.         global = Math.max(local,global);  
10.     }  
11.     return global;  
12. }  

这道题虽然比较简单，但是用到的动态规划方法非常的典型，我们在以后的题目中还会遇到，大家还是要深入理解一下哈。我现在记得的用到的题目是Jump Game，以后有统计一下再继续更新。

教程参考屈婉玲的youtube视频：https://www.youtube.com/watch?v=WZuvWMfIfjA

源码搬https://www.youtube.com/watch?v=WZuvWMfIfjA链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/459bd355da1549fa8a49e350bf3df484?orderByHotValue=1&page=4&onlyReference=false
来源：牛客网

/*

算法时间复杂度O（n）

用total记录累计值，maxSum记录和最大

基于思想：对于一个数A，若是A的左边累计数非负，那么加上A能使得值不小于A，认为累计值对

          整体和是有贡献的。如果前几项累计值负数，则认为有害于总和，total记录当前值。

此时 若和大于maxSum 则用maxSum记录下来

*/

public class Solution {

    publicintFindGreatestSumOfSubArray(int[] array) {

        if(array.length==0)

            return0;

        else{

            inttotal=array[0],maxSum=array[0];

            for(inti=1;i<array.length;i++){

                if(total>=0)

                    total+=array[i];

                else

                    total=array[i];

                if(total>maxSum)

                    maxSum=total;

            }

            returnmaxSum;

        }

         

    }

}

或者以下写法




程序源代码及分析：

Java源码：不改变数据A内元素值。

[java] view plain copy

 

1. //时间复杂度O（n），空间复杂度O（1）  
2. public class Solution {  
3.     public static int maxSubArray(int[] A) {  
4.         int maxSum = Integer.MIN_VALUE;  
5.         int curMaxSum = 0;  
6.         for (int i = 0; i < A.length; ++i) {  
7.             curMaxSum = Math.max(curMaxSum + A[i], A[i]);  
8.             maxSum = Math.max(curMaxSum, maxSum);  
9.         }  
10.         return maxSum;  
11.     }  
12. }