数据结构—图I

图的基本概念

 

1.        图的定义

 

                   图G是由顶点集V和边集E组成，记为G=（V,E）,其中V（G）表示图中的非空有限集。

                  【注】线性表和树都可以为空，但是图不可以为空。

 

2.        图基本概念和术语

 

弧：表示有向图中的边。

 

完全图：图中任意两个顶点（图中称之为顶点，树中叫结点）之间都存在边。含有n个顶点的无向完全图含有n(n-1)/2 条边。含有n个顶点的有向完全图有 n(n-1) 条有向边。

 

连通，连通图，连通分量：

在无向图中，若顶点v到顶点w有路径存在，则称v和w是连通的。若图中任意         两个顶点都是连通的（这里指的是有路径存在，区分完全图中的直接相连），       则称图     G为连通图。无向图中的极大【notmax】连通子图称为连通分量。

 

【注】极大连通子图是无向图中的连通分量，极大即要求该连通子图包括其所有边（子图所拥有的）；        极小连通子图是既要保持图畅通，又要使得边数最少的子图；极小连通子图就是之后连通图的生成树。

强连通图和强连通分量是只对有向图的，无向图中一般讨论连通性。

 

 

 

生成树，生成森林：

连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图。若图中顶点树为n,则它的生成树含有n-1条边。在非连通图中，（强）连通分量的生成树构成了非（强）连通图的全部森林。

 

顶点的度，出度和入度

在具有n个顶点e条边的无向图中，TD(vi)=2e。即无向图全部顶点的度之和等于边数的两倍。这是因为每条边和两个顶点相连。

对于有向图，顶点v的度分为入度和出度。这里顶点的度等于其入度加出度。即TD(v)=ID(v)+OD(v)。在具有n个顶点e条边的有向图中。.即有向图的全部顶点的出度等于入度，并且等于边数。这是因为每条有向边都有一个起点和终点。

 

带权图也称作网

 

稠密图，稀疏图：根据边数的相对多少。一般当图G满足E<V*logV时，可以将G看作稀疏图。

 

路径，路径长度和回路

路径是指顶点和相邻顶点序偶构成的边所形成的序列。  第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环。路径上边的数目称为路径长度。

【注】如果一个图有n个顶点，并且有大于n-1条边，则此图一定有回路（此时即为连通图）

 

简单路径，简单回路

在路径序列中，顶点不重复出现的路径称为简单路径；除第一个和最后一个之外，其余顶点不重复出现的回路称为简单回路。

 

有向树：有一个顶点的入度为0其余顶点入度均为1的有向图称作有向树。

一些特殊结论：

1.        对于连通无向图，边最少构成一棵树的情形；对于强连通有向图，边最少即构成一个有向环的情形，即只有两个顶点相互指向。

 

图的存储及及基本操作

 

1.        存储方式：邻接矩阵法和邻接表，前者是顺序存储结构，后者是链接存储结构。

 

2.        邻接矩阵存储：就是用一个一维数组存储图中顶点信息，用一个二维数组存储图中边的信息（此称其为邻接矩阵）。

,

【注】

l  因此，邻接矩阵的规律，无向图的是一对称矩阵（01对称分布）；有向图的是一简单矩阵（01非对称分布）；带权图（网）的是一带权矩阵（矩阵中元素值为各条边的权重，0，表示彼此不可通）。

l  对于无向图，邻接矩阵的第i行（或i列）非零元素（或非元素）个数正好是第i个顶点的度TD(i)。   因为其入度等于出度嘛。

l  对于有向图，邻接矩阵的第i行（或i列）非零元素（或非元素）个数正好是第i个顶点的出度OD(i)（或入度ID(i)）。 数组下标结构特点决定。

l  评估：很容易确定任意两个顶点之间是否有边相连（O(1)复杂度）。但缺点是要确定有多少条边却需要O(n^2)时间复杂度。

3.        邻接表存储：

【引】   稀疏图时，邻接矩阵表示法显然很浪费空间。而图的邻接表法结合了顺序存储和链式存储，大大减少了这种浪费。

 

邻接表定义：对图G中每个顶点Vi都建立一个单链表，表示依附于顶点Vi的边（对于有向图则是以顶点Vi为尾的弧），称之为顶点Vi的边表（对应有向图称之为出边表）。

 

边表的头指针和顶点的数据信息采用顺序存储（称为顶点表），所以在邻接表中存在两种结点：顶点表结点和边表结点。

【补充】而且边表邻接顶点域可只存图G中顶点标号，以节省空间。

  邻接表代码定义：

【特征】

l  如果G为无向图，则需存储空间O(V+2E)；如果为有向图，则所需存储空间为O(V+E)

l  在邻接表中，给一顶点，读取它的邻接表就可以找到其所有邻边，花费O(L)，而邻接矩阵中，需花费O（n）。          但是如果要确定两个顶点间是否存在边，邻接矩阵花费O(1)时间，邻接表则O(2L)时间（无向图O（L））。  其中L为边表长度

l  在有向图的邻接表中，求一个顶点的出度只需计算其邻接表中结点个数，时间花费O(L)。但是求入度，则需要遍历全部的邻接表，时间花费O(E)。

l  图的邻接表表示并不唯一，这是因为在每个对应的单链表中，各边结点的链接次序可以是任意的，取决于建立邻接表的算法和边的输入次序。

4      图的基本操作

 

图的基本操作是独立于图的存储结构的。这句话有着深深的含义，操作建立在抽象的数据结构上。

而对于不同的存储方式，操作算法的具体实现会有着不同的性能。

 

常用的有：

 

FirstNeighbor(G,x)  

NextNeighbor(G,x,y)  //假设图G中顶点y是顶点x的一个邻接点，返回出y之外顶点x的下一个邻接点的顶点号。若不存在，返回-1