数据结构—树与二叉树篇I

4.1树

树的性质：

1)       树中的结点数等于所有结点的度数加1

2)       度为m的树中第i层上至多有m^(i-1)个结点（i>=1）

3)       高度为h的m叉树至多有(m^h-1)/(m-1)个结点

4)       具有n个结点的m叉树的最小高度为|- logm(n(m-1)+1) -|(取上限)

求解数结点和度之间的关系有：

1)       总结点数=N0+N1+N2+…….Nm

2)       总分支数=1xN1+2xN2+……+mxNm(度为m的结点引出m条分支)

3)       总结点数=总分支数+1

 

4.2树和二叉树

         二叉树的性质：

1)       非空二叉树上叶子结点数等于度为2的结点数加1即N0=N2+1

2)       非空二叉树第K层上至多有2^(k-1)个结点（K>=1）

3)       高度为H的二叉树至多有2^H-1个结点（H>=1）

         二叉树和度为2的有序树的区别：

1)       度为2的树至少有3个结点，而二叉树可以为空。

2)       度为2的有序树的孩子结点的左右次序是相对于另一孩子结点而言的，如果某个结点只有一个孩子结点，这个孩子结点就无须区分其左右次序，而二叉树无论其孩子数是否为2均需确定其左右次序，也就是说二叉树的结点次序不是相对于另一结点而言，而是确定的。

         满二叉树（是特殊的完全二叉树）：一颗高度为h，并且含有2*h-1个结点的二叉树称为满二叉树，即树中每一层都含有最多的结点。

        完全二叉树：设一个高度为h，有n个结点的二叉树，当且仅当其每个结点都与高度为h的满二叉树中编号为1~n的结点一一对应时，称为完全二叉树。

1)       若i <=|_ n/2 _|,则结点i为分支结点，否则为叶子结点。

2)       叶子结点只可能在层次最大的两层的上出现。对于最大层次中的叶子结点，都依次排列在该层最左边的位置上。

3)       如果有度为1的结点，只可能有一个，且该结点只有左孩子而无右孩子。（重要特征）。

4)       按层序编号后，一旦出现某结点（其编号为i）为叶子结点或只有左孩子，则编号大于i的结点均为叶子结点。（意思是度为1的结点只可能出现在倒数第二层）

5)       若n为奇数，则每个分支结点都有左子女和右子女；若n为偶数，则编号最大的分支结点（n/2）只有左子女，没有右子女，其余分支结点左，右子女都有。

         完全二叉树的性质：

1)       当i>1时，结点i的双亲编号为|_ i/2  _|（取下限），即当i为偶数时，其双亲结点编号为 i/2,它是双亲结点的左孩子；当i为奇数时，其双亲结点编号为（i-1）/2 ,它是双亲结点的右孩子。

2)       当2i<=N时，结点i的左孩子编号为2i，否则无左孩子

3)       当2i+1<=N时，结点i的右孩子编号为2i+1，否则无右孩子

4)       结点i所在层次（深度）为|_ log2i _|+1（取下限）

5)       具有N个（N>0）结点的完全二叉树的高度为|- log2(N+1) -|(取上限)或|_ log2N_|+1（取下限）

         二叉排序树：一颗二叉树或者是空二叉树，或者是具有如下性质的二叉树：左子树上的所有结点关键字均小于根结点的关键字；右子树上的所有结点的关键字均大于根结点的关键字。左子树和右子树又各是一个二叉排序树。

 

         平衡二叉树：树上任一结点的左子树和右子树深度之差不超过1

 

         线索二叉树

                   目的：为了加快查找结点前驱和后继的速度。（通过利用n+1个空指针域）