单源最短路径（ Dijkstra算法）JAVA实现

单源最短路径问题，即在图中求出给定顶点到其它任一顶点的最短路径。在弄清楚如何求算单源最短路径问题之前，必须弄清楚最短路径的最优子结构性质。

一.最短路径的最优子结构性质

   该性质描述为：如果P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的中间顶点，那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。

   假设P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离，那么必定存在另一条从k到s的最短路径P'(k,s)，那么P'(i,j)=P(i,k)+P'(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。则与P(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。

二.Dijkstra算法

  Dijkstra提出按各顶点与源点v间的路径长度的递增次序，生成到各顶点的最短路径的算法。既先求出长度最短的一条最短路径，再参照它求出长度次短的一条最短路径，依次类推，直到从源点v 到其它各顶点的最短路径全部求出为止。

 

 

对于下图：


运行结果：
从0出发到0的最短路径为：0-->0
从0出发到1的最短路径为：0-->1
从0出发到2的最短路径为：0-->3-->2
从0出发到3的最短路径为：0-->3
从0出发到4的最短路径为：0-->3-->2-->4
=====================================
从0出   发到0的最短距离为：0
从0出   发到1的最短距离为：10
从0出   发到2的最短距离为：50
从0出   发到3的最短距离为：30
从0出   发到4的最短距离为：60

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1. public class Dijkstra {  
2.     static int M=10000;//(此路不通)  
3.     public static void main(String[] args) {  
4.         // TODO Auto-generated method stub  
5.         int[][] weight1 = {//邻接矩阵  
6.                 {0,3,2000,7,M},  
7.                 {3,0,4,2,M},  
8.                 {M,4,0,5,4},  
9.                 {7,2,5,0,6},      
10.                 {M,M,4,6,0}  
11.         };  
12.   
13.   
14.         int[][] weight2 = {  
15.                 {0,10,M,30,100},  
16.                 {M,0,50,M,M},  
17.                 {M,M,0,M,10},  
18.                 {M,M,20,0,60},  
19.                 {M,M,M,M,0}  
20.         };  
21.         int start=0;  
22.         int[] shortPath = Dijsktra(weight2,start);  
23.           
24.         for(int i = 0;i < shortPath.length;i++)  
25.              System.out.println("从"+start+"出发到"+i+"的最短距离为："+shortPath[i]);    
26.             
27.     }  
28.      
29.   
30.     public static int[] Dijsktra(int[][] weight,int start){  
31.      //接受一个有向图的权重矩阵，和一个起点编号start（从0编号，顶点存在数组中）  
32.         //返回一个int[] 数组，表示从start到它的最短路径长度  
33.         int n = weight.length;        //顶点个数  
34.         int[] shortPath = new int[n];    //存放从start到其他各点的最短路径  
35.         String[] path=new String[n]; //存放从start到其他各点的最短路径的字符串表示  
36.          for(int i=0;i<n;i++)  
37.              path[i]=new String(start+"-->"+i);  
38.         int[] visited = new int[n];   //标记当前该顶点的最短路径是否已经求出,1表示已求出  
39.           
40.         //初始化，第一个顶点求出  
41.         shortPath[start] = 0;  
42.         visited[start] = 1;  
43.   
44.         for(int count = 1;count <= n - 1;count++)  //要加入n-1个顶点  
45.         {  
46.    
47.             int k = -1;    //选出一个距离初始顶点start最近的未标记顶点  
48.             int dmin = Integer.MAX_VALUE;  
49.             for(int i = 0;i < n;i++)  
50.             {  
51.                 if(visited[i] == 0 && weight[start][i] < dmin)  
52.                 {  
53.                     dmin = weight[start][i];  
54.                      
55.                     k = i;  
56.                 }    
57.                       
58.             }  
59.             System.out.println("k="+k);  
60.                
61.             //将新选出的顶点标记为已求出最短路径，且到start的最短路径就是dmin  
62.             shortPath[k] = dmin;  
63.   
64.             visited[k] = 1;  
65.     
66.             //以k为中间点，修正从start到未访问各点的距离  
67.             for(int i = 0;i < n;i++)  
68.             {                 // System.out.println("k="+k);  
69.                 if(visited[i] == 0 && weight[start][k] + weight[k][i] < weight[start][i]){  
70.                      weight[start][i] = weight[start][k] + weight[k][i];  
71.                      
72.                      path[i]=path[k]+"-->"+i;  
73.                       
74.                 }  
75.                   
76.             }    
77.        
78.         }  
79.          for(int i=0;i<n;i++)  
80.            System.out.println("从"+start+"出发到"+i+"的最短路径为："+path[i]);    
81.          System.out.println("=====================================");  
82.         
83.         return shortPath;  
84.     }  
85. }  
86.   
87.