狄利克雷卷积与莫比乌斯反演

来源：互联网发布：mac air屏幕尺寸编辑：程序博客网时间：2024/05/22 05:26

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狄利克雷卷积：

给出元素为数论函数的集合G，与二元运算符 *，定义f * g 狄利克雷卷积：

$(f * g)(n) = \sum_{d|n}^{ }f(d)g(\frac{n}{d})$

运算满足：

交换律：

$f * g= g * f$

结合律

$(f * g)*h= f * (g*h)$

单位元

$f = f * \epsilon = \epsilon * f, \epsilon (n) = \begin{cases} 1 &n = 1 \cr 0 &n \ne 1 \end{cases}$

逆元

$f * f^{-1} = f^{-1} * f = \epsilon, f(1) \ne 0$

特别地，狄利克雷卷积的逆元：

$f^{-1}(n) = \begin{cases} \frac{1}{f(1)} & n = 1 \cr \frac{-1}{f(1)} \sum_{d|n \land d \ne n}^{ } f(\frac{n}{d})f^{-1}(d) &otherwise \end{cases}$

莫比乌斯反演：

有数论函数f, g

$$if $ f(n) = \sum_{d|n} g(d), $then $ g(n) = \sum_{d|n}^{ } \mu(d)f(\frac{n}{d})$

其中μ是莫比乌斯函数：

$\mu(n) = \begin{cases} 1 & n=1 \cr (-1)^k & n = p_{1}p_{2}...p_{k}, $where they(p_{1}p_{2}...p_{k})$ $ are all unique primes$ \cr 0 &otherwise \end{cases}$

根据莫比乌斯函数的重要性质：

$\sum_{d|n}^{ }\mu(d) = \begin{cases} 1 & n = 1\cr 0 & n > 1 \end{cases}$

显然：莫比乌斯函数的逆元

$\mu^{-1}(n) = 1$

因为把上面这个性质改写一下：

$\sum_{d|n}^{ }\mu(d) = \sum_{d|n}^{ }\mu(d)*1 = (\mu * 1)(n) = \begin{cases} 1 & n = 1\cr 0 & n > 1 \end{cases} = \epsilon(n)$

根据定义即可得出莫比乌斯函数的逆元（逆函数）为 1

这样，莫比乌斯反演就可以证明了：因为

$f(n) = \sum_{d|n}^{ } g(d) = \sum_{d|n}^{ } g(d)*1 = \sum_{d|n}^{ } g(d)\mu^{-1}(\frac{n}{d})$
写成狄利克雷卷积的形式就是：

$f = g*1 = g*\mu^{-1}$

即可得到

$f * \mu = g*\mu^{-1}*\mu = g$

展开来写也就是

$g(n) = (f * \mu)(n) = \sum_{d|n}^{ } f(d)\mu(\frac{n}{d})$

运用简单的换元小法术，即可得到莫比乌斯反演的结论：

$g(n) = \sum_{d|n}^{ } \mu(d)f(\frac{n}{d})$

最后

为什么再写一遍这个莫比乌斯反演。

当初学习莫比乌斯反演的时候，只当这是找规律得到的性质。

现在学习到狄利克雷卷积这种运算，重新证明了一遍莫比乌斯反演的结论。

于是感叹抽象代数的魅力qwq…

1 0