经典算法汇总-第一章

1.    最小生成树（Minimum Spanning Trees）：在加权连通图中找最小生成树连通所有点且权值最小

算法1:prim算法：任选一个起始点为蓝点集合，其余点为红点集合，找蓝点集合中与红点集合距离最小的点，加入到蓝点集合中，直到红点集合为空。

算法2:kruskal：将边权值由大到小进行排序，选择最小的边加入，且边的两点要分别在两个集合中，直到将所有的点连通。

若将该问题改成连接所有点，但不许有分支（NP问题）

2.    可满足问题

合取范式：（xVyVz）(xVy)…(pVq) 中能找到一组值使式子成立，

如每个子句少于等于2句：2-SAT问题    P问题  多项式时间可解

每个子句少于等于3句：3-SAT 问题     NP问题 指数时间

3.    Search problem／Decisionproblem：给一个问题的解，能在多项式时间段内判断是否正确

4.    如果每个子句中至少有一个正的，该子句称为霍恩公式，如果只有一个，则可以通过贪心算法找到解

5.    旅行商问题：有n个顶点，n(n-1)/2个边和一个限制b，能否找到一个圆，经过每个顶点1次，且花费少于或等于b。旅行商问题可以被认为是最小生成树的转化，不允许树有分支。

6.    将搜索问题或判定问题转成优化问题容易，优化问题转搜索问题，用二分搜索法。优化问题会多一个边界

7.    欧拉路径：若图G中存在这样一条路径使得它恰通过G中每条边一次，则称该路径为欧拉路径，若该路径是一个圈则成为欧拉回路或欧拉环。具有欧拉回路的图成为欧拉图。

8.    一个无向图存在欧拉回路，当且仅当该图所有顶点度数都为偶数,且该图是连通图。一个有向图存在欧拉回路，所有顶点的入度等于出度且该图是连通图。欧拉路径：无项图中有两个顶点度数为奇数，其它为偶数，则存在欧拉路径。

9.    哈密顿回路Hamilton cycle／Rudrata cycle：从指定的起点到指定的终点，途中经过所有其他节点且只经过一次。平面图可以转成欧拉图来求解。

10. 在一个图G（V，E）中V是点集，E是边集。在E中去掉一个边集C使得G（V，E-C）不连通，C就是图G（V，E）的一个割；最小割：在G（V，E）的所有割中，边权总和最小的割就是最小割。

11. 平衡割（Balancedcut）：给定n个订单和限制b，将顶点分割成两个集合S和T，且两个集合的顶点数大于三分之一，使得S和T之间存在至多b个边

12. 整数线性规划（ILP）：有一个集合的变量，给一组真实值让它们满足一些线性等式或者线性不等式，最大或者最小化目标函数，使满足条件的变量取值最多。ILP是一个搜索问题

13. ZOE：线性规划问题的一种，但是变量只能取0或者1

14. 3D Matching：集合x，y，z，找到x＊y＊z的集合使彼此相连，且每个顶点只能出现一次。它是一个搜索问题，也是npc问题。如图所示：

                    

右图中连线代表关联，如果选p0，则一定要选p2.如果选p1，则一定要选p3。所以p0和p2要一起出现，p1和p3要一起出现。所以右图可以等同于一个布尔变量，有两种取值。因此3D matching问题和3－SAT问题互相转换，因为3SAT问题一个子句最多3个，代表任一一点只能连少于3条边。

15. 独立集（Independentset）问题：给一个图G和一个整数g，找到g的顶点，让g的顶点之间互不相连。

16. 顶点覆盖问题（Vertexcover）：给定一个N个点M条边的无项图G（点的编号从1至N），问是否存在一个不超过K个点的集合S，使得G中的每条边都至少有一个点在集合S中。

 

17. 团问题（Clique）：

给一个图和一个整数g，找到g个顶点，使这g个点中每对顶点之间都有边。

18. 独立集和团问题互为补问题，顶点覆盖和独立集问题互为补问题，可以互相转换

19. 最长路径问题是指在给定的图中找出长度最长的道路。一条不具有任何重复顶点的路径被称为简单路径，无权图中路径的长度就是边的数量，而有权图中路径长度是边权重之和，最长路径问题是NP问题

20. 背包问题（Knapsack）：给出每个物品的重量w1,w2…,wn和物品的价值v1，v2….Vn,背包的最大容量是W，希望获得的最小价值是g。动态规划解决，时间复杂度为：O(nw). 0-1背包问题有多项式时间解

21. 背包问题的特殊情况：物品重量和价值相等，目标价值和背包的容量相同，这样的话，该问题等同于子集合问题

22. 子集和问题：找到一个集合中的某个子集，让子集的和正好为W。该问题也是整数线性规划的子集ZOE。

23. 图同构问题(Graphisomorphism):两个图中对应点的连线相同

24. hard problems和easy problems

 

 25. 补问题complementation：两个问题的解正好相反。原问题是多项式时间，补问题是多项式时间，则原问题在多项式时间内封闭。