leetcode解题之70 #Climbing Stairs Java版 （青蛙跳台阶）

70. Climbing Stairs（跳台阶）

同青蛙跳台阶

70. Climbing Stairs

You are climbing a stair case. It takes n steps to reach to the top.

Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?

Note: Given n will be a positive integer.

（1）一只青蛙一次可以跳上 1 级台阶，也可以跳上2 级。求该青蛙跳上一个n 级的台阶总共有多少种跳法。

（2）一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2 级……它也可以跳上n 级，此时该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法？

分析：1）当n = 1， 只有1中跳法；当n = 2时，有两种跳法；当n = 3 时，有3种跳法；当n = 4时，有5种跳法；当n = 5时，有8种跳法；....... 规律类似于Fibonacci数列

// 超时,leetcode不通过public int climbStairs1(int n) {if (n == 1)return 1;if (n == 2)return 2;return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2);}

public int climbStairs(int n) {if (n == 1)return 1;if (n == 2)return 2;int one = 1;int two = 2;int res = 0;for (int i = 3; i <= n; i++) {res = one + two;one = two;two = res;}return res;}

拓展：

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2 级……它也可以跳上n 级，此时该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法？

用Fib(n)表示青蛙跳上n阶台阶的跳法数，青蛙一次性跳上n阶台阶的跳法数1(n阶跳)，设定Fib(0) = 1；

       当n = 1 时， 只有一种跳法，即1阶跳：Fib(1) = 1;

       当n = 2 时， 有两种跳的方式，一阶跳和二阶跳：Fib(2) = Fib(1) + Fib(0) = 2;

       当n = 3 时，有三种跳的方式，第一次跳出一阶后，后面还有Fib(3-1)中跳法； 第一次跳出二阶后，后面还有Fib(3-2)中跳法；第一次跳出三阶后，后面还有Fib(3-3)中跳法

        Fib(3) = Fib(2) + Fib(1)+Fib(0)=4;

       当n = n 时，共有n种跳的方式，第一次跳出一阶后，后面还有Fib(n-1)中跳法； 第一次跳出二阶后，后面还有Fib(n-2)中跳法..........................

       第一次跳出n阶后, 后面还有 Fib(n-n)中跳法.

       Fib(n) = Fib(n-1)+Fib(n-2)+Fib(n-3)+..........+Fib(n-n)=Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+.......+Fib(n-1)

      又因为Fib(n-1)=Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+.......+Fib(n-2)

      两式相减得：Fib(n)-Fib(n-1)=Fib(n-1)         =====》  Fib(n) = 2*Fib(n-1)     n >= 2

      递归等式如下：

       

矩阵的覆盖，用八个2*1的小矩阵去覆盖一个2*8的大矩阵。如下图所示：

第一个小矩阵可以有两种覆盖方法横着，那么此时，必须由第二个小矩阵也横着，剩下2*6的大矩阵；竖着，那么还剩下2*7的大矩阵需要覆盖。因此可得:f(8)=f(6)+f(7).

公式同青蛙跳台阶