93：Triangle

题目：Given a triangle, find the minimum path sum from top to bottom. Each step you may move to adjacent
numbers on the row below.
For example, given the following triangle
[
[2],
[3,4],
[6,5,7],
[4,1,8,3]
]
The minimum path sum from top to bottom is 11 (i.e., 2 + 3 + 5 + 1 = 11).
Note: Bonus point if you are able to do this using only O(n) extra space, where n is the total number of
rows in the triangle.

题目详情见 https://leetcode.com/problems/triangle/#/description

解析1 ：自顶向下，令 f[i][j] 表示从顶部元素到 triangle 中第 i 行第 j 列的最小路径长度，则

f[i][j]=min(f[i−1][j−1],f[i−1][j])+triangle[i][j]

但是需要注意当 j 为 第 i 行的第一个元素时，

f[i][j]=f[i−1][j]+triangel[i][j]

当 j 为第 i 行的最后一个元素时，

f[i][j]=f[i−1][j−1]+triangle[i][j]

则从顶部到底部的最小路径和为 f[triangle.size()−1][j]的最小值

代码如下：

// 时间复杂度 O(n^2)，空间复杂度 O(n)// 自顶向下class Solution {public:        int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {                const int n = triangle.size();                vector<int> f(n, 0); // f 表示顶部元素到某一行各个位置的最小距离                f[0] = triangle[0][0]; // f[0] 的初值                for (int i = 0; i < triangle.size() - 1; ++i) {                        // 根据顶部元素到第 i 行各个位置的最小距离                        // 推断出 到 i + 1 行各个位置的最小距离。                        int last_index  = triangle[i + 1].size() - 1;                        // 逆序搜索 triangle 中第 i+1 行的各个元素                        for (int j = last_index; j >= 0; --j) {                                if (j == 0)   f[j]= f[j] + triangle[i + 1][j];                                else if (j == last_index) f[j] = f[j - 1] + triangle[i + 1][j];                                else                                        f[j] = min(f[j - 1], f[j]) + triangle[i + 1][j];                        }                }                int min_sum = f[0];                for (int i = 1; i < f.size(); ++i)                        min_sum = min(min_sum, f[i]);                return min_sum;};

解析2：自底向上，令 f[i][j] 表示从最底行到 triangle 中第 i 行第 j 列的最小路径和，则

f[i][j]=min(f[i+1][j],f[i+1][j+1])+triangle[i][j]

则显然易见，从顶部到底部的最小路径和为 f[0][0]

相比如自顶向下，自底向上方法代码更为紧凑和简洁，因为不需要进行分类讨论，代码如下：

// 时间复杂度 O(n^2)，空间复杂度 O(n)// 自底向上，相比如自顶向下，代码更为紧凑简洁class Solution {public:        int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {                const int n = triangle.size();                // f 表示从最底行各个位置到 triangle 中某一行各个位置的最小距离                // f 的初始值为最底行的元素                vector<int> f(triangle[n - 1].begin(), triangle[n - 1].end());                for (int i = triangle.size() - 1; i > 0; --i) {                        // 根据最低行各个位置到第 i 行的各个位置最小距离                        // 推出到第 i-1  行的各个位置最小距离                        int last_index = triangle[i - 1].size() - 1;                        for (int j = 0; j <= last_index; ++j)                                f[j] = min(f[j], f[j + 1]) + triangle[i - 1][j];                }                return f[0];        }};